重难点07全等三角形中“倍长中线”模型-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

重难点07全等三角形中“倍长中线”模型 【知识梳理】 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 图一 图二 图三 【考点剖析】 例1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC． 【变式1】如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 【变式2】如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC >2AD． （4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围． [来源:学&科&网Z&X&X&K 【变式3】如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE． 例2.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F． 求证：∠AEF=∠EAF． 【变式1】如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF． 求证：AD为△ABC的角平分线． 例3.如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE． （1）依题意补全图形； （2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明． 【变式】阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：． 【过关检测】 一．选择题（共6小题） 1．（2022秋•天门期中）AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，中线AD的取值范围是（　　） A．8＜AD＜12 B．4＜AD＜20 C．2＜AD＜10 D．4＜AD＜6 2．（2022秋•临洮县期中）如图所示，△ABC中，AB＝5，AC＝9，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．4＜AD＜14 B．0＜AD＜14 C．2＜AD＜7 D．5＜AD＜9 3．（2022秋•义乌市校级月考）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝4，AC＝2，则AD的取值范围是（　　） A．1＜AD＜3 B．2＜AD＜4 C．2＜AD＜6 D．2＜AD＜3 4．（2022秋•如皋市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 5．（2022秋•灵山县期中）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8 6．（2022秋•朝阳区校级期中）老师布置的作业中有这么一道题： 如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC＝3，AD＝4．则AB的长不可能是（　　） A.5 B.7 C.8 D.9 甲同学认为AB，AC，AD这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为可以从点C作平行线，构造辅助线，利用全等的知识解决．你认为正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 二．填空题（共4小题） 7．（2022秋•青田县期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　． 8．（2022秋•大连月考）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为　 　． 9．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连结DC，作DM⊥DC交AC于点M．若AB＝10，AM＝2，则CM＝　 　． 10．（2022秋•东宝区校级月考）在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　． 三．解答题（共14小题） 11．（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D