专题1.6 空间角的向量求法大题专项训练（30道）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.6 空间角的向量求法大题专项训练（30道） 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.    (1)求证：平面； (2)若，求与所成角的余弦值. 2．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，且直线PB与CD所成角的大小为．    (1)求BC的长； (2)求二面角的余弦值． 3．（2023春·陕西西安·高一校考期末）如图1，在中，，，，，都在上，且，，将，分别沿，折起，使得点，在点处重合，得到四棱锥，如图2.    (1)求异面直线，所成角的余弦值； (2)若为的中点，求钝二面角的余弦值. 4．（2023春·江苏镇江·高一校考期末）如图，在四棱锥中，底面，//，，，.    (1)求证：平面； (2)试确定的值为多少时？二面角的余弦值为. 5．（2023·浙江宁波·校考模拟预测）在直角梯形中，，，，现将沿着对角线折起，使点D到达点P位置，此时二面角为．    (1)求异面直线，所成角的余弦值； (2)求点A到平面的距离． 6．（2023春·江苏盐城·高二校考期末）如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在线段上．    (1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值． 7．（2023春·北京通州·高三统考阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD中， ． (1)求证：平面； (2)若平面PAB与平面PCD的夹角等于，求异面直线PB与CD所成角的余弦值． 8．（2023秋·高一单元测试）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，直线AC⊥平面BDEF，点O为AC与BD的交点，AB＝2，且∠DAB＝∠DBF＝60°.    (1)求异面直线DE与CF所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值. 9．（2023·辽宁丹东·统考二模）如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点． (1)证明：CD⊥AE； (2)点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值． 10．（2023春·北京·高二校考期中）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中点，PA＝2，AB＝1，AD＝2．    (1)求证：PB∥平面ACE； (2)求直线CP与平面ACE所成角的正弦值； 11．（2023·四川成都·校考模拟预测）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 12．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）如图，在四棱台中，，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)若四棱台的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 13．（2023春·河南·高二校联考期末）如图，圆柱的底面半径与高均为2，AB为的直径，分别为，上的点，直线CD与线段交于O点.    (1)证明：O为线段的中点； (2)若AC与下底面所成的角为，求直线BC与平面ACD所成角的正弦值. 14．（2023·上海闵行·上海市校考二模）已知正方体，点为中点，直线交平面于点.    (1)证明：点为的中点； (2)若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 15．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）如图，在几何体中，菱形所在的平面与矩形所在的平面互相垂直.    (1)若为线段上的一个动点，证明：平面； (2)若，，直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 16．（2023春·江苏连云港·高二统考期末）如图，在三棱锥中，，平面平面.    (1)求异面直线与间的距离； (2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值. 17．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，．    (1)若，证明：平面； (2)若直线与平面所成角为，求的值； 18．（2023春·云南玉溪·高二校考期末）如图，在三棱柱中，，D为BC的中点，平面平面.    (1)证明：平面； (2)已知四边形是边长为2的菱形，且，求平面与平面所成角的正弦值. 19．（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知、分别是正方体的棱、的中点，求：    (1)与所成角的大小； (2)二面角的大小； (3)点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，请判断点的位置，并说明理由. 20．（2023春·河南·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，底面是的中点，.    (1)证明：平面平面.