专题1.5 空间向量的应用【十大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.5 空间向量的应用【十大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求平面的法向量】 2 【题型2 利用空间向量证明线线平行】 3 【题型3 利用空间向量证明线面平行】 5 【题型4 利用空间向量证明面面平行】 7 【题型5 利用空间向量证明线线垂直】 9 【题型6 利用空间向量证明线面垂直】 10 【题型7 利用空间向量证明面面垂直】 12 【题型8 利用空间向量研究距离问题】 15 【题型9 利用空间向量求空间角】 17 【题型10 利用空间向量研究存在性问题】 18 【知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示】 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量a ，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【题型1 求平面的法向量】 【例1】（2023春·高二课时练习）已知，则平面的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）空间直角坐标系中，已知点，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋·北京石景山·高二统考期末）如图，在三棱锥中，平面，，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，为平面的一个法向量，则的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系】 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. (2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. (3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【题型2 利用空间向量证明线线平行】 【例2】（2023春·高二课时练习）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：. 【变式2-1】（2023春·高二课时练习）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 【变式2-2】（2023春·高二课时练习）如图，在正方体中，点M，N分别在线段，上，且，，P为棱的中点．求证：． 【变式2-3】（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 【题型3 利用空间向量证明线面平行】 【例3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面. 【变式3-1】（2023春·高二课时练习）如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在上，且，，求证：平面. 【变式3-2】（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，（为常数，且）．若直线BF平面ACE，求实数的值； 【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，点F为棱CD的中点，与E，F相异的动点P在棱