利用空间向量解决探索性问题训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

利用空间向量解决探索性问题 例1．如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？ 例2．如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． （1）求证：EF⊥CD； （2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论． 例3．如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，底面ABCD为直角梯形，.N为AD中点，线段PC上是否存在动点M（不包括端点），使得点P到平面BMN距离为.若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 例4．如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $第一章 空间向量与立体几何 利用空间向量解决探索性问题 利用向量解决探索性问题的方法 对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题． 若有解满足题意，则存在；若没有满足题意的解，则不存在． 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 $ 利用空间向量解决探索性问题答案 例1【详解】以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A，C，的坐标分别为，，，所以 ，． 设是平面的法向量，则，， 即，所以， 取，则，．所以，是平面的一个法向量． 由，C，的坐标分别为，，，得，．设点P满足，则，所以． 令，得，解得，这样的点P存在． 所以，当，即P为的中点时，平面． 例2.【详解】（1）证明　如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F. ＝，＝(0，a，0)． ∵＝0，∴，即EF⊥CD. （2）解：设G(x，0，z)，则＝， 若使GF⊥平面PCB，则需且 由＝·(a，0，0) ＝a＝0，得x＝； 由＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0. ∴G点坐标为，即G为AD的中点． 例3【详解】（1）由题意可得，AB，AD，AP两两垂直， 由与底面所成的角为，得， 故， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，， 设，即， 则， 可得， 设面BMN法向量为 则， 令，可得，； 即可得； 即，解得或（舍）；此时点. 例4. 1）过点作于点， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面． （2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为， 以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 即取，，， 所以为平面的一个法向量， 因为在线段上（不含端点），所以可设，， 所以， 设平面的一个法向量为， 即， 取，，， 所以为平面的一个法向量， ，又， 由已知可得 解得或（舍去）， 所以，存在点，使得二面角的余弦值为， 此时是上靠近的三等分点．    答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $