重难点08全等三角形中“截长补短”模型-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

重难点08全等三角形中“截长补短”模型 【知识梳理】 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法： ⑴过某一点作长边的垂线； ⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 补短法： ⑴延长短边。 ⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。 【考点剖析】 例1如图，在中，，于D，求证：． 例2.如图，在中，，的平分线交于点．求证：． 【变式1】如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD 【变式2】如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE. 【变式3】如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD. 【变式4】如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CE=AC. 【变式5】如图，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，求证：． 【变式6】已知四边形ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，． 求证：． 例4．已知：在中，，，求证：． 【变式1】如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE. 【变式2】已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=90°-∠ADC 例5.正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=60°，DB=DC，BDC=120°，请问现在EF、BE、 CF又有什么数量关系？ 【变式1】正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45°，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ 【变式2】正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45°，请问现在EF、 DE、BF又有什么数量关系？ 【过关检测】 一、解答题 1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC． 求证：BC=AB+CD． 2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：． 3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ． 4．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 5．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长． 6．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，中，，分别平分和，，相交于点，． （1）求的度数； （2）判断，，之间的等量关系，并证明你的结论． 7．（2023·浙江·八年级假期作业）如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接． （1）探究、、之间的关系，并说明理由； （2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由． 8．（2022秋·全国·八年级专题练习）在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F． （1）如图1，若． ①直接写出的大小； ②求证：． （2）若图2，若，求证：． 9．（2023·全国·九年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明） （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 10．（2023