12.3角的平分线的性质　教学设计　2024-2025学年人教版数学八年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 探究角的平分线的性质 教科书 书 名：义务教育教科书 数学 八年级上册 出版社：人民教育出版社 教学目标 1.掌握尺规作图：作一个角的平分线，知道作法的合理性. 2.探索并证明角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；提出并证明：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 3.应用角的平分线的性质定理及逆定理解决简单问题. 教学重难点 教学重点： 探索角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 作一个角的平分线的尺规作图. 教学难点： 提出命题：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 教学过程 一、复习回顾 1. 三角形全等的判定方法 任意三角形：SSS，SAS，AAS，ASA 直角三角形：SSS，SAS，AAS，ASA，HL 2. 角的平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线 叫做这个角的平分线.（如图1） 3. 作已知角的平分线的方法 方法1 叠合：折纸（如图2）作出角平分线. 图1 图2 方法2 度量法，用量角器（如图3），可以作出角的平分线. 图3 【设计意图】 本节课需要探究角的平分线的性质，在探究前，先复习回顾角的平分线的定义、已学过的作一个角的平分线的方法，以及在探究过程中需要用到的全等三角形的判定方法，为学生本节课的探究在知识上和方法上做铺垫. 二、探究新知 探究：还有什么方法作已知角的平分线？ 方法3 角分仪 如图4(a) 是一个平分角的仪器，其中CM=CN，PM=PN. 如图4(b)，将点C放在∠AOB的顶点O处，CM和CN沿着角的两边放下，沿CP画一条射线OP，OP就是∠AOB的平分线．（教师演示角分仪的使用过程） C P M N 图4(a) 图4(b) 问题：能否根据角分仪的特点，借助尺规作已知角的角平分线？ 方法4 尺规作图 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2） 分别以点M , N为圆心，大于的长为半 径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. 图5(a) （3）画射线OC．射线OC即为所求（如图5(a)）. （教师演示尺规作图过程） 思考1：为什么要以大于的长为半径画弧？ 保证在第2步的作图中两弧有交点. 思考2：作图的依据是什么？ SSS，全等三角形的对应角相等.（图5(b)） 图5(b) 方法5 三角板 用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON（如图6(a)），再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB. 图6(a) 图6(b) 思考：以上作图的依据是什么？ HL，全等三角形的对应角相等.（图6(b)） 追问：你还能发现什么？ PM＝PN. 即角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 提出猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图7，OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N. 求证：PM = PN. 证明：∵ OP是∠AOB的平分线，图7 ∴ ∠1=∠2. ∵ PM⊥OA，PN⊥OB, ∴ ∠3 =∠4 = 90°. 在△OMP和△ONP中， ∴ △OMP≌△ONP (AAS) ∴ PM = PN（全等三角形的对应边相等）. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用法：∵ OP是∠AOB的平分线，PM⊥OA，PN⊥OB， ∴ PM = PN（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）. 小结： 证明一个几何命题的一般步骤： 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 【设计意图】在角平分线的作图中，尝试利用不同工具完成，培养学生对不同工具特点的识别及合理使用的能力，让学生在积累数学基本活动经验的同时，提高动手操作能力。展示角分仪的使用方法，体会数学的应用价值，让学生从中启发，用尺规作角的平分线，增强作图技能. 最后让学生在简单的推理过程中，体会作法的合理性. 同时，方法5的作法为学生发现角的平分线的性质做了铺垫，提出猜想，然后推理证明. 最后，小结证明一个几何命题的一般步骤，一方面发展学生的归纳概括能力，另一方面为下面命题的证明做铺垫. 问题：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 提出猜想：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 已知：如图8(a)，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，PM = PN.图8(a) 求证：点 P在∠AOB的平分线上. 证明：如图8(b)，经过点 P作射线OP. ∵ PM⊥OA，PN⊥OB, ∴ ∠3 =∠4 = 90°. 在Rt△OMP和Rt△ONP中， 图8(b) ∴ Rt△OMP≌Rt△ONP (HL) . ∴ ∠1=∠2. ∴ OP是∠AOB的平分线. 注：需要说明点P在∠AOB的内部 角的平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 用法：∵ PM⊥OA，PN⊥OB，PM = PN， ∴ 点P在∠AOB的平分线上 （角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）. 【设计意图】从逆命题的角度出发，提出角的平分线的性质定理的逆定理，让学生根据猜想，画出图形，写出已知、求证、证明. 需要注意角的内部. 三、学以致用 1. 如图9，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足为D. 若PD =3，则点P到OB的距离为 .图9 2. 如图10，在△ABC中，∠C= 90°，DE⊥AB于点E，DE = DC，∠CBD = 26°，则∠A的度数为 .图10 【设计意图】通过练习，提高学生运用角的平分线的性质定理、角的平分线的性质定理的逆定理解决问题的能力，学会根据题目需要适当添加辅助线. 四、课堂小结 1. 尺规作图：作已知角的角分线. 2. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 3. 角的平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 【设计意图】引导学生总结收获，建立知识之间的联系. 五、课后作业图11 1. 如图11，△ABC的角平分线 BM，CN相交于点 P . 求证：点 P到三边 AB，BC，CA的距离相等. 图12 2. 如图12，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线交于点F. 求证：点F在∠BAC的平分线上. 【设计意图】巩固课堂所学知识，考查学生综合运用角的平分线的性质定理及逆定理解决问题的能力，以及对添加适当的辅助线的掌握情况. 六、课后探索 “三等分角”是古希腊三大几何难题之一. 数学家伽罗瓦证明：尺规作图不可能三等分任意角. 请你类比课上角平分线作图的探究，继续探索作一个角的三等分线的方法. 也可以尝试设计一些工具，比如：三等分角的仪器（如图13）. 图13 【设计意图】课后探索是课堂的提升与延伸，从“平分角”到“三等分角”，设置具有探索性的问题，激发学生课后探索的积极性，在动手实践、自主探索、合作交流中养成良好的学习习惯和科学精神. 学科网（北京）股份有限公司 $$