第37讲 平面向量的应用-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第37讲 平面向量的应用 1、 向量在平面几何中的应用 (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义． (2)证明线段平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件，a∥b⇔＝⇔x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)． (3)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0． (4)求夹角问题：利用夹角公式cosθ＝＝ . (5)用向量方法解决几何问题的步骤： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系． 2、向量在解析几何中的应用 (1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系． 设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a1，a2)平行于l，则k＝tanα＝；如果已知直线的斜率为k＝，则向量(a1，a2)与向量(1，k)一定都与l平行． (2)与a＝(a1，a2)平行且过P(x0，y0)的直线方程为y－y0＝(x－x0)，过点P(x0，y0)且与向量a＝(a1，a2)垂直的直线方程为y－y0＝－(x－x0)． 1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 2、（2023年高考数学真题完全解读（新高考I卷））已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 1、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2、在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是________三角形．( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 等边　 B. 等腰　 C. 直角　 D. 等腰直角 3、 若O为△ABC所在平面内的任意一点，且满足（－）·（＋－2）＝0，则△ABC的形状为(　　) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 4、 已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，且BC＝2BE，CD＝λCF.若·＝－9，则λ的值为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 考向一　平面向量在平面几何中的应用 例1、（1）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的______心． （2）等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，那么（ ） A． B． C．2 D．4 （3）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，＝(＋)，＝，则·＝________. 变式1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）如图，正六边形的边长为2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若的最大值和最小值分别是，，则（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 变式2、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 方法总结：利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 1、若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数 考向二 平面向量与三角综合 例2、已知a＝(cos x，2cos x)，b＝(2cos x，sin x)，f(x)＝a·b. (1) 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调增区间； (2) 当a≠0，a与b共线时，求f(x)的值． 变式1、本题中，求|a－b|的最大值． 变式2、（2022·河北深州市中学高三期末）的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，且. （1）求； （2）若，且，求的周长. 方法总结：(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法． (2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解． (3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误． 考向三 平面向量与解