1.1.1 空间向量及线性运算-【高效课堂】2023-2024学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1 空间向量及其线性运算 LET’S START 这是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力. 问题探究 我们已经学习了平面向量，那么你还记得平面向量的概念吗？可以用类比法，总结出空间向量的概念和线性运算吗？ 一、空间向量的概念 平面向量的概念：平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作或. 问题探究 回顾一下，平面向量都有哪些表示方法？你可以类比平面向量的表示方法，给出空间向量的表示方法吗？ 二、空间向量的表示 平面向量的表示 A (起点) B (终点) a，b，c，… a＝(x，y) 字母表示 坐标表示 二、空间向量的表示 空间向量的表示 a c b a，b，c，… a＝(x，y) 字母表示 坐标表示 三、特殊向量 零向量： 单位向量： 相等向量： 相反向量： 模为0的向量，记作0；零向量的方向任意； 模为1的向量； 模和方向都相同的两个向量，记作 a＝b； 模相同，方向相反的两个向量，记作a=-b ； 三、特殊向量 共线向量： 若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b； 规定，零向量和任意向量共线. 练习巩固 例1 给出下列命题： ①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量满足，则；③若空间向量，满足，，则 ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向. 其中假命题的个数是（ ）. A．1 B．2 C．3 D．4 D 练习巩固 练习1 下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是（ ） A. 零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等 B. 零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等 C. 零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量 D. 零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同 C 问题探究 数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算. 那么在学习了空间向量的概念之后，空间向量如何进行线性运算呢？ 复习回顾·平面向量的线性运算 (1)加减运算 三角形法则: 首尾相连 平行四边形法则： 共起点 减法法则： 共起点， 连终点， 指被减 复习回顾·平面向量的线性运算 (2)数乘运算 实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ②若λ > 0，λa与a的方向相同； 若λ < 0，λa与a的方向相反； 若λ＝0，λa＝0. O A Q P M N a λa (λ>0) λa (λ<0) 问题探究 如何进行空间向量的线性运算？ a b . O α 转化 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 四、空间向量的线性运算 (1)加减运算： (2)数乘运算： 三角形法则、平行四边形法则 实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ②若λ > 0，λa与a的方向相同； 若λ < 0，λa与a的方向相反； 若λ＝0，λa＝0. 五、空间向量线性运算的运算律 ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c) ＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb. 如何证明空间向量的加法结合律 a c b 在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记 则 a + (b + c)＝ (a + b ) + c＝ 所以有：a + (b + c)＝(a + b ) + c. a， b， c . 练习巩固 例2 如图，E、F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量 (1) (2) (3) (4) 练习巩固 练习2 用表示. 问题探究 对任意两个空间向量a与b，如果a=λb(λ∈R)，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a=λb？ 六、空间向量共线的充要条件 与平面向量共线的充要条件类似，对任意两个空间向量 a， b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb . O P l a a 七、共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 平行于同一个平