1.1.1 空间向量及其线性运算-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

1.1.1　空间向量及其线性运算 　 第一章　1.1　空间向量及其运算 知识层面 1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．　 2．经历由平面向量的线性运算推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律．　 3．掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用． 素养层面 通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养；借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养. 知识点一　空间向量的有关概念 1 知识点二　空间向量的线性运算 2 知识点三　共线向量与共面向量 3 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点一　空间向量的有关概念 返回 问题1．国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图①所示， (1)游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 提示：如题图①，游客的实际位移是 ，可以用平面向量的加法来表示这个过程． (2)如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图②，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 提示：如题图②，他实际发生的位移是 ，可以用空间向量来表示这个位移． 问题导思 1．空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，具有______和______的量叫做空间向量． (2)长度：空间向量的______叫做空间向量的长度或____． 新知构建 大小 方向 大小 模 2．几类常见的空间向量 名称 定义 表示 零向量 长度为___的向量叫做零向量 0 单位向量 模为___的向量叫做单位向量 |a|＝___或 | |＝___ 相反向量 与向量a长度______而方向______的向量，叫做a的相反向量 －a 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线__________或______，那么这些向量叫做__________或平行向量 a∥b 相等向量 方向______且模______的向量叫做相等向量，______且______的有向线段表示同一向量或相等向量 a＝b或 0 1 1 1 相等 相反 互相平行 重合 共线向量 相同 相等 同向 等长 (1)空间向量是平面向量的推广，可以类比平面向量学习．(2)空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．(3)零向量的长度为0，并规定零向量的方向是任意的．有向线段的起点A和终点B重合时， ＝0.(4)单位向量的模为1.这里的1表示一个单位长度．根据实际情况，“1”可以是1米，也可以是1毫米等． 微提醒 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是 A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 D．相等向量其方向必相同 例1 相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确．故选D． √ (2)(多选)下列命题中，是假命题的为 A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p √ √ 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．特别需要注意的是由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．　　 规律方法 对点练1．(1)在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，与向量 相等的向量共有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 √ (2)下面有关空间向量的叙述正确的是___．(填写序号) ①零向量没有方向；②两个有公共终点的向量，一定是共线向量；③方向相反的向量是相反向量；④若a＝－b, 则|a|＝|b|；⑤所有共起点的单位向量的终点，形成一个圆． ①错误．零向量与任意向量平行，方向是任意的；②错误．方向相同或相反的向量称为共线向量，只终点相同，不能确定向量的方向；③错误．长度相等方向相反的向量才是相反向量；④正确．由相反向量的概念可知正确；⑤错误．空间中所有共起点的单位向量的终点，形成一个球面．故答案为④. 返回 ④ 知识点二　空间向量的线性运算 返回 问题2．(1)平面向量的线性运算是指哪些运算？空间中的向量能用平面向量的线性运算法则进行运算吗？为什么？ 提示：平面向量的线性运算是指平面向量的加减法及数乘运算．能.因为空间向量是可以自由移动的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合，又因为两条相交直线确定一个平面，所以平移后是到同一个平面内的，成为同一平面内的两个向量，接着就可以利用平面向量的线性运算法则进行运算． (2)空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 提示：共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中的任意两个向量共面． 问题导思 空间向量的线性运算及其运算律 新知构建 空间向 量的线 性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 运算 当λ＞0时，λa＝ 当λ＜0时，λa＝ 当λ＝0时，λa＝0 运 算 律 交换律 a＋b＝_____ 结合律 a＋(b＋c)＝________，λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝_______，λ(a＋b)＝________ b＋a (a＋b)＋c λa＋μa λa＋λb (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点； 求向量差时，可以共起点．三角形法则、平行 四边形法则在空间向量中也适用．(2)空间向量 加法运算的推广——多边形法则：首尾顺次相 接的若干个空间向量a1，a2，…，an相加，等于由起始向量a1的起点指向末尾向量an的终点的向量．(3)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无意义． 微提醒 (链教材P9T2)如图，已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，化简下列表达式，并在图中标出化简结果： 例2 解：设点M为CB′的中点，则 化简后所对应的向量如图所示． 1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 规律方法 巧用相 反向量 向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接 巧用 平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 数形 结合 利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量 明确 目标 在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质 对点练2．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是 √ 对点练3．已知正方形ABCD，P是平面ABCD外的一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值： 返回 所以x＝2，y＝－2. 知识点三　共线向量与共面向量 返回 问题3．平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示：对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量． 问题4．(1)空间中任意三个向量是否共面？ 提示：不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面． (2)平行于同一平面的两直线的位置关系如何？ 提示：平行于同一平面的两直线的位置关系可能相交、平行或异面． 问题导思 1．共线向量的充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使____． 2．直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a， 则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及 向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得________． 我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的__________． 新知构建 a＝λb 方向向量 3．向量与平面平行 如果表示向量a的有向线段 所在的直线OA______________或_________ ___，那么称向量a平行于平面α. 4．共面向量 定义 平行于同一个______的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝______ 平行于平面α 在平面α 内 平面 唯一 xa＋yb (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定．向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上．(2)向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是在向量a，b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立． 微提醒 角度1　证明向量(或三点)共线 在正方体ABCD -A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心， 证明：A1，G，C三点共线． 例3 证明：设BD的中点为O，连接GB，GD，GC1，GO，OC， 变式探究 　(变条件，变结论)将本例条件改为：如图，已知M， N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G 为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线． 向量共线的判定及应用 1．判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． 2．判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使 规律方法 对点练4．(1)有下列命题： ②③ (2)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共 面，M，N分别是AC，BF的中点， 法一：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， 法二：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， 角度2　证明向量共面 例4 向量法证明空间三向量共面 设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．　　 规律方法 对点练5．已知向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，判断向量p，q，r是否共面，并说明理由． 返回 解：设r＝xp＋yq，则－7a＋18b＋22c＝x(a＋b－c)＋y(2a－3b－5c)＝(x＋2y)a＋(x－3y)b＋(－x－5y)c， 由空间向量共面定理得向量p，q，r共面． 综合应用 返回 空间中四点共面问题 (链教材P5例1 )已知E，F，G，H分别是 空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)用向量法证明E，F，G，H四点共面； 例5 所以E，F，G，H四点共面． 四点共面问题，需利用共面向量的充要条件，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．一般说来，证明点P在平面ABC内，有如下三种方法： 规律方法 对点练6．(1)(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是 √ √ －2 返回 课堂小结 知识 1．向量的相关概念. 2．向量的线性运算. 3．空间向量共线的充要条件. 4．空间向量共面的充要条件 方法 类比法、转化法、数形结合思想 易错 误区 1．应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数. 2．混淆向量共线与线段共线、点共线 随堂演练 返回 1．当|a|＝|b|≠0，且a，b不共线时，a＋b与a－b的关系是 A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定 根据平行四边形法则可得，以a，b为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为a＋b，a－b，所以a＋b与a－b共面．故选A． √ 2．(多选)下列命题中正确的是 A．如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b| B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 由单位向量的定义得|a|＝|b|＝1，故A正确；共线不一定同向，故B错误；因为a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，所以a∥c，故C正确；在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故D正确．故选ACD． √ √ √ 返回 课时测评 返回 1．下列命题中正确的是 A．若a∥b，b∥c，则a与c所在直线平行 B．若向量a，b，c共面，则它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb 对于A，若a∥b，b∥c，当b＝0时a与c所在直线可以不平行，因此A不正确；对于B，向量a，b，c共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，因此B不正确；对于C，根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，故C正确；对于D，若a∥b且b≠0，则存在唯一的实数λ，使a＝λb，因此D不正确．故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．不共线向量 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．当λ＝0时，点P在棱BB1上 B．当λ＝μ时，点P在线段B1C上 C．当μ＝1时，点P在棱B1C1上 D．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若 0(λ∈R)，则λ＝______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD， AE上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(多选)在以下命题中，不正确的命题是 A．非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面 B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)下列命题正确的是 A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面 B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别是 棱BB1，DD1的中点，P是棱A1B1上靠近A1的四等分点， 过M，N，P三点的平面α交棱BC于Q， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(12分)如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．求证：E，F，G，H四点共面． 证明：如图，分别连接PE，PF，PG，PH并延长交AB，BC，CD，AD于点M，N，Q，R，连接EG，MQ，EF，EH. 因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心， 所以M，N，Q，R分别为所在边的中点． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为四边形MNQR为平行四边形， 又因为三向量有相同的起点E， 所以E，F，G，H四点共面． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(新情境)光岳楼，亦称余木楼、鼓楼、东昌楼， 位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》 站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、 太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同 组成中国十大名楼．其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上边边长与底边边长之比约为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(13分)如图所示，平行六面体ABCD -A1B1C1D1中， E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝ (1)求证：A，E，C1，F四点共面； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 空 间 向 量 与 立 体 几 何 返回 ＝ 当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等的向量起点、终点不一定相同，故A错误；模相等的两个向量的方向是任意的，即模相等的两个向量的方向不一定相同，也不一定相反，故B错误；由相等向量的传递性，知若m＝n，n＝p，则m＝p，故C正确；在正方体ABCD -A1B1C1D1中，四边形ACC1A1是矩形，向量与的方向相同，模也相等，即＝，故D正确．故选AB． ＋＝___ －＝___ λ＝ λ＝ 对于A，＋2＋2＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋；对于B，2＋2＋3＋3＋＝2(＋)＋3(＋)＋＝3＋3＝0；对于C，＋＋＝＋＋＝＋＝0；对于D，－＋－＝(－)＋(－)＝＋＝0.故选A． ＝λa ＝λ. 注意：对空间任意一点O，若＝x＋y且x＋y＝1，则P，A，B三点共线．　　 则与是否共线？ 如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，在AC1上和BC上分别有一点M和N，且＝k，＝k，其中0≤k≤1.求证：，a，c共面． (2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)． 1．若＝x＋y，则点P在平面ABC内． 2．若对空间任意一点O，有＝＋x＋y，则点P在平面ABC内． 3．若对空间任意一点O，有＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，则点P在平面ABC内． 注：上述中的x，y，z均为实数．　　 A．＝5－3－ B．＝＋＋ C．＋2＋3＝0 D．＋＋＋＝0 对于A，由＝5－3－，因为5＋(－3)＋(－1)＝1，根据空间向量的基本定理及其推论，可得M，A，B，C四点共面，所以A正确；对于B，由＝＋＋，因为＋＋≠1，根据空间向量的基本定理及其推论，可得M，A，B，C四点不共面，所以B不正确；对于C，由＋2＋3＝0，可得＝－2－3，根据向量的共面定理，可得向量，，共面，所以M，A，B，C四点共面，所以C正确；对于D，由＋＋＋＝0，可得＝－－－，因为－1－1－1≠1，根据空间向量的基本定理及其推论，可得M，A，B，C四点不共面，所以D不正确．故选AC． (2)已知向量a，b，c不共面，＝2a＋b，＝a＋c，＝b＋λc，若A，B，C，D四点共面，则实数λ的值为_______． 3．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近 点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点． 设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示 ＝____________． a＋b＋c 4．已知四面体OABC，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C共面，则λ＝____． 4．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，N分别是BC，CD的中点，如图所示，则＋(＋)＝ A． B． C． D． 6．(多选) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，则下列说法正确的是 当λ＝0时，＝μ，又μ∈，所以∥， 则点P在棱BB1上，故A正确；当λ＝μ时，＝λ (＋)＝λ，λ∈，所以点P在线段BC1上， 故B错误；当μ＝1时，＝λ＋，所以＝λ＝λ，所以∥，又λ∈，所以点P在棱B1C1上，故C正确；当λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以＝λ＋(1－λ)，λ∈，即＝λ，所以点P在线段B1C上，故D正确．故选ACD． ＋λ＝ － 如图，连接A1C1，C1D，则点E在A1C1上，点F在C1D 上，易知EF∥A1D，且EF＝A1D，所以＝， 即－＝0，所以λ＝－. 且BM＝BD，AN＝AE. 设＝λ，则λ＝______． 所以顺次连接M，N，Q，R所得的四边形为平行四边形， 且有＝，＝，＝，＝. ，则＋＋＝________． 如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则＝，＝， 所以＋＋＝＋＋＝＋＋＝ ＋＝＋＝. BB1，DF＝DD1. 解：证明：因为＝＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋， 解：因为＝－＝＋－(＋) ＝＋－－＝－＋＋， $$