第04讲 对数与对数函数（7类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第04讲 对数与对数函数（核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年新I卷，第10题,5分 对数的运算性质的应用 对数函数模型的应用 对数函数的单调性解不等式 2021年新Ⅱ卷，第7题,5分 比较对数式的大小 无 2020年新I卷，第12题,5分 对数的运算 随机变量分布列的性质 2020年新Ⅱ卷，第7题,5分 对数函数单调性 复合函数的单调性 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5分 【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点 3.熟练掌握对数函数且与指数函数且的图象关系 【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习 知识讲解 1. 对数的运算 （1） 对数的定义 如果，那么把叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数 （2） 对数的分类 一般对数：底数为，，记为 常用对数：底数为10，记为，即： 自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为，即： （3） 对数的性质与运算法则 ①两个基本对数：①，② ②对数恒等式：①，②。 ③换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 ④积的对数：； ⑤商的对数：； ⑥幂的对数：❶，❷， ❸，❹ 2. 对数函数 （1） 对数函数的定义及一般形式 形如：的函数叫做对数函数 （2） 对数函数的图象和性质 图象 性质 定义域： 值域： 当时，即过定点 当时，； 当时， 当时，； 当时， 在上为增函数 （5）在上为减函数 考点一、对数的运算 1．（2022·天津·统考高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：B 2．（2022·浙江·统考高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 3．（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则____________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 1．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数与对数的互化可得出、的表达式，结合换底公式可求得的值. 【详解】因为且，所以，且，所以，且， 且有，，所以，，， 所以，，则， 又因为且，解得. 故选：B. 2．（2023·河北·校联考一模）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据自变量的取值，即可代入到分段函数中，计算即可. 【详解】由于，所以，故， 故选C. 3．（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知函数，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意可得 ， 故选：D. 4．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知函数是偶函数，，则_______． 【答案】 【分析】根据是偶函数，解出值，再根据分段函数解析式算出结果. 【详解】解：已知函数是偶函数， 所以，即， 整理得，解得， 经检验，满足题意， 因为，则， 则，， 故答案为：. 考点二、对数函数的定义域 1．（全国·高考真题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先，考查对数的定义域问题，也就是的真数一定要大于零，其次，分母不能是零． 【详解】解：由，得， 又因为，即，得 故，的取值范围是，且． 定义域就是 故选：B． 2．（上海·高考真题）函数的定义域为_____________． 【答案】 【分析】函数的定义域满足且，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：且，解得. 故答案为： 1．（2023·广东韶关·统考模拟预测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根式、对数性质解不等式和定义域，再应用集合交运算求结果. 【详解】由，则，故， 由，则，故， 所以. 故选：B 2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，然后利用集合补集和并集运算即可. 【详