第03讲 指数与指数函数（5类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第03讲 指数与指数函数（核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年新I卷，第4题,5分 指数型复合函数单调性 二次函数单调性 2022年新I卷，第7题,5分 比较指数幂的大小 用导数判断或证明已知函数的单调性 比较对数式的大小 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5分 【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点 4.能结合指数函数比较指数式大小 【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考 知识讲解 1. 指数的基本知识 （1） 根式的基本性质 ①的定义域为,的定义域为 ②，定义域为 ③，定义域为 ④，定义域为 ⑤，定义域为 （2） 指数的基本性质 ①零指数幂:; ②负整数指数幂: ③正分数指数幂:; ④负分数指数幂: （3） 指数的基本计算 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 2. 指数函数 （1） 指数函数的定义及一般形式 一般地，函数，叫做指数函数 （2） 指数函数的图象和性质 图 象 定义域 值域 性质 过定点 当时，； 时, 当时，； 时, 在上是增函数 在上是减函数 考点一、指数与指数幂的运算 1．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 2．（2020·全国·统考高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由可得，所以， 所以有， 故选：B. 【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 1．（上海·高考真题）满足方程的值为________． 【答案】0 【分析】令，原方程化为，即可求出，从而求出； 【详解】解：令，原方程化为，解得或 因为，所以，即，解得 故答案为：0 【点睛】本题考查指数的运算，属于基础题. 2．（2023·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质化简计算即可. 【详解】． 故选：A． 3．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】. 故选：B. 4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】B 【分析】方法一：可得，即可得到函数关于对称，从而得到为偶函数； 方法二：求出的解析式，即可判断. 【详解】方法一：因为，所以， 所以函数关于对称，将的函数图象向左平移个单位，关于轴对称， 即为偶函数. 方法二：因为，， 则，所以为偶函数； 又，故，， 所以，，故为非奇非偶函数； 又，故，， 所以，，故为非奇非偶函数； 又，故，， 所以，，故为非奇非偶函数. 故选：B 考点二、指数函数的图象及其应用 1．（2023·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数图象可确定大小关系，结合指数函数单调性可得结果. 【详解】由图象可知：，. 故选：C. 2．（2023·山东枣庄·统考二模）指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的图象可知，，再结合二次函数的顶点式即可解出． 【详解】由图可知，，而，顶点横坐标为，所以． 故选：A． 1．（2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，结合对数函数与指数函数的单调性判断即可. 【详解】，为定义域上的单调递增函数 ，故不成立； ，为定义域上的单调递增函数， ，故C和D不成立. 故选：B. 2．（2023·安徽合肥·统考一模）（多选）已知，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定的函数，按分类探讨，结合函数的单调