第02讲 幂函数与二次函数（5类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第02讲 幂函数与二次函数（核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年新I卷，第1题,5分 二次函数图象解不等式 集合间的基本运算 2023年新I卷，第4题,5分 二次函数单调区间求参数值或范围 函数的单调性求参数值 判断指数型复合函数的单调性 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下 【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握的图象和性质 2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等) 3.理解并掌握幂函数的单调性和奇偶性 【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考 知识讲解 1. 幂函数 （1） 幂函数的定义及一般形式 形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数 （2） 幂函数的图象和性质 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 2. 一元二次方程： ①方程有两个实数根 ②方程有同号两根 ③方程有异号两根 ④韦达定理及应用： , 3. 二次函数 ①一般式：()，对称轴是 顶点是； ②顶点式：()，对称轴是顶点是； ③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 4. 二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值 ③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 考点一、幂函数的图象 1．（全国·高考真题）如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性结合特值法进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递减， 当时，幂函数在上单调递增， 可知曲线、对应的值为正数，曲线、对应的值为负数， 当时，幂函数在上的增长速度越来越快，可知曲线对应的值为， 当时，幂函数在上的增长速度越来越慢，可知曲线对应的值为， 令，分别代入，，得到，， 因为，可知曲线、对应的值分别为、. 故选：A. 2．（全国·高考真题）函数的图象是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），（，），再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案． 解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D； 由特殊点（8，2），（，），可排除C． 故选B． 点评：幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x来刻画其它幂函数在第一象限的凸向． 1．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先求出函数过定点的坐标，再求出幂函数的解析式，即可判断. 【详解】解：（，且） 令，则，即，故函数（，且）的图象恒过定点. 设 则解得， 故的图象大致是 故选： 【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，待定系数法求幂函数解析式以及幂函数的图象的识别，属于基础题. 2．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（ ） A．（） B．（） C．（） D．（，且） 【答案】A 【分析】根据函数，，，的图象特征判断. 【详解】在同一坐标系中作出函数，，， 在第一象限的图象，如图所示： 由函数图象，根据折线图可知，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（）， 故选：A 考点二、幂函数的单调性与奇偶性 1．（上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A． 考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质． 点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称． 2．（全国·高考真题）函数y=在[－1, 1]上是 A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 【答案】A 【详解】 考查幂函数.