第01讲 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性，9类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第01讲 函数及其性质 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） （核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年新I卷，第4题,5分 复合函数的单调性 函数的单调性求参数值 2023年新I卷，第11题,5分 函数奇偶性的定义与判断 函数极值点的辨析 2023年新Ⅱ卷，第4题,5分 函数奇偶性的应用 奇偶性求参数 2022年新I卷，第12题,5分 抽象函数的奇偶性 函数对称性的应用 函数与导函数图象之间的关系 2022年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 抽象函数的周期性求函数值 2021年新I卷，第13题,5分 由奇偶性求参数 无 2021年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的周期性的定义与求解 2021年新Ⅱ卷，第14题,5分 函数奇偶性的定义与判断 基本初等函数的导数公式 2020年新I卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式 2020年新Ⅱ卷，第7题,5分 复合函数的单调性 对数函数单调性 2020年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5分 【备考策略】1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法 2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值 3.能够利用函数的单调性解决有关问题 4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题 6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题. 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容. 知识讲解 1. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 2. 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 3. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的运算 4. 周期性（差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 5. 对称性（和为常数有对称轴） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 6. 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 7. 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 考点一、根据函数的单调性求参数值 1．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 2．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递减，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】按值对函数 进行分类讨论，再结合函数 的性质求解作答. 【详解】由于函数在区