第34讲 椭圆的几何性质讲义-2023届高三数学一轮复习

第34讲 椭圆的几何性质 一．知识精讲 知识点一：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 长轴长为，短轴长为 焦点 焦距 对称性 关于 轴对称，关于 成中心对称 离心率 椭圆的焦距与长轴长之比为 知识点二：利用椭圆的几何性质求其标准方程 方法归纳 1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法。 2．已知椭圆几何性质求椭圆标准方程的步骤如下： （1）确定焦点所在的坐标轴以确定椭圆方程的形式； （2）建立关于之间的关系式或方程（组）解出的值； （3）写出椭圆的标准方程。 3．不要忽视椭圆焦点的位置而产生混淆。 4．强化对标准方程的理解，做题时先定性（方程的形式），后定量（求的值）． 知识点三：椭圆的离心率 （1）椭圆离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记作 （2）椭圆离心率的范围：因为所以 （3）椭圆离心率与的关系：因为所以 （4）椭圆离心率对椭圆扁圆形状的影响：椭圆的长半轴长为，当越接 近于就越接近于，这时椭圆越 ；当越接近于，就越接近于，这时椭圆越 知识点四：“两法”破解椭圆的最值问题 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种： （1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解 决，这就是几何法。解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相 应曲线的定义及对称知识求解 （2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再 根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值，常用方法有配方法、判别式法、重 要不等式法及函数的单调性法等． 二．经典例题 题型一：椭圆的简单几何性质 【例1】求椭圆的长轴、短轴长，离心率，焦点与顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆． 【变式1】已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴和短轴的长， 焦点的坐标和顶点的坐标． 题型二：利用椭圆的几何性质求其标准方程 【例2】写出满足下列条件的椭圆标准方程： （1）焦点在轴， （2）焦点在轴， （3）短轴的一个端点到一个焦点的距离为，焦点到椭圆中心的距离为； （4）离心率为，经过点 【变式】根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： （1）长轴是短轴长的2倍，且过点； （2）焦点在轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6． 题型三：椭圆的离心率 【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ． 【变式】如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，求此椭圆的离心率． 【例4】设椭圆上有点使（为长轴右顶点），求椭圆的离心率的范围． 【变式】已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，求椭圆的离心率取值范围． 【拓展】设是椭圆上的一点，是其左、右焦点，已知，求椭圆离心率的取值范围． 题型四：“两法”破解椭圆的最值问题 【例5】如图所示，已知椭圆在椭圆上求一点，使到直线 的距离最 小，并求出最小值． 【例6】如图，点分别是椭圆长轴的左、右端点，点是椭圆的右焦点，点在椭 圆上，且位于轴上方， （1）求点的坐标； （2）设点是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值． 【变式】已知点点为椭圆上任意一点，求的最大值． 题型五：综合应用 【例7】如图，椭圆中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点，． （1）求该椭圆的标准方程； （2）取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为的圆，使椭圆上的其余两点均在圆外，若求圆的标准方程． 【拓展】在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为2，离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆上满足面积为的任意两点，为线段的中点，射线 交椭圆于点，设，求实数的值． 课后作业 一．基础过关 1．椭圆的左焦点为，，是椭圆的两个顶点,如果点到直线的距离为，则椭圆的离心率________. 2．椭圆和椭圆具有（ ） A．相同的长轴长 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的顶点 3．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上任意一点，则的最大值为（ ） A．2 B．3 C．6 D．8 4．若椭圆的半焦距为，直线与椭圆的一个交点的横坐标恰为，则该椭圆的离心率为