第33讲 椭圆的定义及标准方程讲义-2023届高三数学一轮复习

第33讲 椭圆的定义及标准方程 一．知识精讲 知识点--：椭圆的第一定义 第一定义：平面内到两个定点的 等于常数 的点的轨迹叫做 ，定点叫做椭圆的 ，叫做椭圆的 ． 用集合语言叙述为“点集，其中叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距”． 注意: （1）只有当时，动点的轨迹才是椭圆．而当时，动点的轨迹不存在；当，动点的轨迹是线段． （2）定义的双向运用：一方面，符合定义中条件的动点轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上的点一定满足定义的条件（即到两焦点的距离之和为）． 知识点二：椭圆的标准方程 1．椭圆的标准方程 标准方程 图形 焦点 的关系 准线方程 2．根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中项和项的分母哪个更大一些，即“ ”．如方程为的椭圆，焦点在轴上，而且可求出焦点坐标，焦距． 注意： 正确理解“标准方程”中的“标准”的意义 （1）两个焦点在坐标抽上； （2）线段的中点是坐标原点． 只有同时满足这两个条件时，所得到的方程才是标准方程． 知识点三：与椭圆焦点三角形有关的问题 1．椭圆上一点与椭圆两焦点构成的称为焦点三角形，且 ,解关于椭圆中的焦点三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识． 2． 对于求焦点三角形的面积，若已知，可以利用 ，把看成一个整体，运用公式及余弦定理求出，而无需单独求出，这样可以减少运算量． 二．经典例题 题型一：椭圆的第一定义 【例1】下列命题是真命题的是_____________（将所有真命题的序号都填上）． ①已知定点则满足的点的轨迹为椭圆； ②已知定点则满足的点的轨迹为线段； ③到定点距离相等的点的轨迹为椭圆． 【变式】设为定点，，动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 题型二：椭圆的标准方程 【例2】已知方程表示椭圆，求的取值范围． 【变式】已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例3】（1）两个焦点的坐标分别为，且椭圆过点，求该椭圆的标准方程． （2）求焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆的标准方程． 【例4】求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过两点． （2）已知椭圆过点，且，求椭圆的标准方程． 【变式】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上，且椭圆经过点． （2）求与椭圆有公共焦点，且经过的椭圆的标准方程 【例5】一动圆与已知圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程． 【变式】在椭圆内，内接三角形的一边过两个焦点，点在椭圆上运动，试求的重心的轨迹方程． 题型三：与椭圆焦点三角形有关的问题 【例6】已知为椭圆上的点，是椭圆的两个焦点，，求的面积． 【变式】椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则________；的大小为__________． 题型四：综合 【例7】如图所示，是椭圆的两个顶点，是的中点，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，若，求椭圆的方程． 课后作业 一．基础过关 1．若椭圆的一个焦点是，则等于（ ） A． B．1 C． D． 2．设是椭圆上上一点，到两焦点的距离之差为，则是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 3．求经过的椭圆标准方程． 4．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为___________． 5．等腰直角三角形中，斜边长为，一个椭圆以为其中一个焦点，另一个焦点在线段上，且椭圆经过两点，求椭圆的标准方程． 二．延伸拓展 6．的三边长成等差数列且满足，两点的坐标分别是，求顶点的轨迹方程． 7．设为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值． ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北