第32讲 曲线与方程讲义-2023届高三数学一轮复习

第32讲 曲线与方程 一．知识精讲 知识点一：曲线与方程 1．曲线的方程、方程的曲线 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系： ①曲线上 都是这个方程的 ； ②以这个方程的 都是曲线上的 ． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 温馨提醒： （1）定义中的关系①说明曲线上任何点的坐标都满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是轨迹的“纯粹性” （2）定义中的关系②说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，这是轨迹的“完备性” 2．曲线与方程的概念的理解 从集合的角度来看：曲线可以看作是由满足某些条件组成的集合，记做；一个二元方程的解可以作为 ，因此二元方程的解也描述了一个 ，记做，那么定义中的关系①指出点集是点集的 ；关系②指出点集是点集的 ，这样，用集合相等的概念定义“曲线的方程”和“方程的曲线”为且，即 知识点二：由方程判断曲线类型 （1）判定方程表示的曲线时，若给出的方程不易看出表示的是何种曲线时，应对原方程进行 ，化成我们所熟知的形式，然后再根据方程、等式的性质进行判断． （2）变形常用的方法有配方法、因式分解等，变形过程中一定要注意与原方程的 ，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线了． 知识点三：曲线的对称性 在曲线方程里，如果以代方程不变，那么当点在曲线上时，它关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴对称．同理：如果以代方程不变，那么曲线关于轴对称；如果同时以代，以代方程不变，那么曲线关于原点对称． 知识点四：求曲线方程或轨迹方程 方法归纳 1．求曲线或（轨迹）方程的常用方法有： 、 、 、 、 等，解题时，需根据所给条件选择适当的方法，求出曲线的轨迹方程． 2．求曲线或（轨迹）的方程要注意以下几点： （1）坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同； （2）一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是; （3）化简方程，一般化成关于的整式，如果化简过程破坏了同解性，就 ． 二．经典例题 题型一：定义基本运用 【例1】命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是正确的，下列命题中正确 的是（ ）． A．方程的曲线是 B．方程的曲线不一定是 C．是曲线的方程 D．以方程的解为坐标的点都在曲线上 【变式】已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（ ） A．曲线上的点的坐标都适合方程 B．凡坐标不适合的点都不在上 C．不在上的点的坐标必不适合 D．不在上的点的坐标有些适合，有些不适合 【例2】如图所示的图形的方程与图中曲线的方程对应正确的（ ） 题型二：由方程判断曲线类型 【例3】下列方程表示什么曲线 （1）； （2）； （3）； （4） 题型三：曲线的对称性 【例4】方程所表示的曲线（ ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于对称 【变式】下列方程所表示的曲线中，关于轴和轴都对称的是（ ） A． B． C． = 1 D． 题型四：求曲线方程或轨迹方程 1．直接法 【例5】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点， 且直线与的斜率之积等于，求动点的轨迹方程． 【变式】已知的一边的长为定值，边的中线的长为定值，求顶点的轨迹方 程． 2．代入法求曲线的方程（相关点法） 【例6】已知的两顶点的坐标分别为，顶点在曲线上运动，求重心的轨迹方程． 【变式】已知圆及一点，在圆上运动一周，的中点形成轨迹， 求轨迹的方程． 3．定义法求曲线的方程 【例7】设，若动点满足，求动点的轨迹方程． 【变式】设圆，过原点作圆的任意弦，求所作弦中点的轨迹方程． 4．求参数轨迹方程． 【例8】已知是方程的两根，求点的轨迹方程． 【变式】已知定点不在坐标轴上，动直线过点，并分别交轴，轴于点，分别过作轴，轴的垂线交于点，求动点的轨迹方程． 5．交轨法求曲线的方程 【例9】如果两条曲线的方程是和，它们的交点是，证明：的曲线也经过点，并求经过两条曲线和的交点的直线方程． 题型五：综合应用 【例10】已知点，点在轴上，点在轴正半轴上，点在直线上，且，又 （1）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程； （2）若直线与轨迹交于、两点，中点到直线的距离为，求的取值范围 【例11】已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为4． （1）