第13讲 指数及其运算-2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第13讲 指数及其运算 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义并掌握幂的运算； 2.能准确掌握根式的运算性质及分数指数幂与根式的互化，熟练掌握幂的运算性质进行幂的运算. 1 次方根 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， 2 分数指数幂的意义 (1)正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) (2)正数的负分数指数幂的意义： (3) 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 3 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂(，为无理数)是一个确定的实数. 4 实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 【题型一】根式的概念和性质 相关知识点讲解 次方根 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. (1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， Eg： ， . 【典题1】 已知函数，则(    ) A． B． C．3 D． 变式练习 1.已知且，则有( ) A． B． C． D． 2.当有意义时，化简的结果是(    )． A． B． C． D． 3.若，则化简的结果是(    ) A．-1 B．0 C．1 D．2 4.(多选)若，则实数的取值可以是(    ) A． B． C． D．1 【题型二】 根式与分数指数幂的互化 相关知识点讲解 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) Eg：，，，. ② 正数的负分数指数幂的意义： Eg：. ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【典题1】(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 的运算结果是(    ) A．3 B． C． D．以上都不对 2.将写成分数指数幂的形式为(    ) A． B． C． D． 3.若，则(    ) A．1 B． C． D． 4.已知，，则 . 【题型三】利用指数幂的性质化简 相关知识点讲解 实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 【典题1】 (1)； (2)已知，且，求. (3)已知，，求的值. 变式练习 1. 计算：(　　) A． B． C． D． 2.若，则等于(　　) A． B． C． D． 3.求值：(　　) ． ． ． 4.计算(    ) A． B． C． D． 5.设且，若，猜想的个位数字是( ) A． B． C． D． 6.(多选)已知实数满足，下列选项中正确的是(    ) A． B． C． D． 7.设，为方程的两个根，求的值． 【题型四】指数幂性质的应用 【典题1】 若实数x，y满足，则的值可以是(    ) A． B．1 C． D． 【典题2】解方程：． 变式练习 1.(多选)已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为(    ) A． B． C． D． 2.已知函数，，则(    ) A．12 B． C． D．17 3.已知，则( ) A．120 B．210 C．336 D．504 4.德国大数学家高斯被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，此方法也称为高斯算法.现有函数，则= . 5.已知，求证: 【A组---基础题】 1.下列各式正确的是(    ) A． B． C． D． 2.若有意义，则的取值范围是(        ) A． B． C． D． 3.若，则(    ) A． B． C． D． 4.已知，则不可能满足的关系是(　　) 5. . 6.若，且，则的值是　 　． 7.已知，则 ． 8.(1)已知，求的值 (2)求值： 9.已知正实数满足. (1)求的值；(2)求的值. 【B组---提高题】 1.正实数及函数满足，且，则的最小值为(　　) ． ． 2.，求 ． 3.计算：． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 指数及其运算 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义并掌握幂的运算； 2.能准确掌握根式的运算性质及分数指数幂与根式的互化，熟练掌握幂的运算性质进行幂的运算. 1 次方根 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， 2 分数指数幂的意义 (1)正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) (2)正数的负分数指数幂的意义： (3) 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 3 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂(，为无理数)是一个确定的实数. 4 实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 【题型一】根式的概念和性质 相关知识点讲解 次方根 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. (1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， Eg： ， . 【典题1】 已知函数，则(    ) A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式的求法和根式的运算求解. 【详解】，所以， 所以3， 故选:C. 变式练习 1.已知且，则有( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式运算性质，得到，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，解得. 故选：A. 2.当有意义时，化简的结果是(    )． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义求得的范围，化简所求根式即可. 【详解】因为有意义，所以，则， 则 ， 故选：C. 3.若，则化简的结果是(    ) A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先化简得出.然后根据已知范围，即可得出答案. 【详解】 . 因为， 所以异号，， 所以， 所以，. 故选：B. 4.(多选)若，则实数的取值可以是(    ) A． B． C． D．1 【答案】ABC 【分析】应用根式的运算即可. 【详解】，则，解得． 故选：ABC 【题型二】 根式与分数指数幂的互化 相关知识点讲解 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) Eg：，，，. ② 正数的负分数指数幂的意义： Eg：. ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【典题1】(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用根数与指数幂的运算可判断各选项的正确. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 变式练习 1. 的运算结果是(    ) A．3 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】直接根据指数的运算即可得结果. 【详解】， 故选：A. 2.将写成分数指数幂的形式为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式与指数幂的互化即可求解. 【详解】将写成分数指数幂的形式为. 故选：B. 3.若，则(    ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 4.已知，，则 . 【答案】1 【分析】借助指数幂的运算性质，计算即可. 【详解】 故答案为：1. 【题型三】利用指数幂的性质化简 相关知识点讲解 实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 【典题1】 (1)； (2)已知，且，求. (3)已知，，求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】(1)根据指数的运算性质求解即可；(2)先求的值，再开方即可；(3)对所求式子可化为，将的值代入即可得结果. 【详解】(1)原式 (2)∵， ∴ 又∵，， ∴，∴. (3)∵， . 变式练习 1. 计算：(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式， 故选：． 2.若，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则．故选：． 3.求值：(　　) ． ． ． 【答案】 【详解】． 故选：． 4.计算(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数运算及根式运算计算即得. 【详解】. 故选：C 5.设且，若，猜想的个位数字是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 当时，， 当时，， 当时，， 归纳的个位数字是． 故选：． 6.(多选)已知实数满足，下列选项中正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用幂的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立，，，以及之间的内在联系即可求得. 【详解】因为，所以， 对于A选项，由，可得，故A项错误； 对于B选项，，故B项正确； 对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确； 对于D选项，因故D项正确. 故选：BCD. 7.设，为方程的两个根，求的值． 【答案】 【分析】利用韦达定理及指数幂的性质化简求值即得. 【详解】因为． 而，为方程的两个根，所以，． 所以，，且由， 可得，所以， 所以原式． 【题型四】指数幂性质的应用 【典题1】 若实数x，y满足，则的值可以是(    ) A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】令，由条件用表示，结合基本不等式求的取值范围即可. 【详解】因为，又， 所以， 设，则，即. 因为， 即，当且仅当，即时等号成立， 解得，，所以的取值范围是 故选：C. 【典题2】解方程：． 【答案】 【分析】根据题意可知，，故可令，把原方程转化为关于的一元二次方程即可求解. 【详解】令，则原方程为， 当时，；当时，． 故. 变式练习 1.(多选)已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先由等式，得出；对于选项A和B，分析的情形即可；对于选项C，分析的情形即可；对于选项D，分析的情形即可. 【详解】因为，所以． 对于选项A和B，当时，，只能，选项A不成立，选项B正确； 对于选项C，当时，，只能，选项C正确； 对于选项D，当时，且，只能，等式成立，选项D正确； 故选：BCD． 2.已知函数，，则(    ) A．12 B． C． D．17 【答案】C 【分析】令，并证明其为奇函数，利用奇函数的性质结合已知条件即可得解. 【详解】令，定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数， ，即，即， ， 故选：C 3.已知，则( ) A．120 B．210 C．336 D．504 【答案】C 【详解】，， ，，，， ． 故选：． 4.德国大数学家高斯被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，此方法也称为高斯算法.现有函数，则= . 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合倒序相加法求和，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令 ， 两式相加，可得，所以. 故答案为：. 5.已知，求证: 【答案】证明见解析 【分析】将题设中的等式化为，根据这两个等式可证． 【详解】证明：因为， 故， 所以， 所以， 故， ， 故． 【A组---基础题】 1.下列各式正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【详解】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 2.若有意义，则的取值范围是(        ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据把分数指数幂化成根式，从而可得到的取值范围，故可得正确的选项. 【详解】因为，所以即， 故选：D. 3.若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方得代入所求的式子可得答案. 【详解】将两边平方，得，即， 所以. 故选：A. 4.已知，则不可能满足的关系是(　　) 【答案】 【详解】，， ，， ， ， ，则有， ，， ， ， ，故错误 故选：． 5. . 【答案】1 【分析】由根式的运算性质求解即可. 【详解】. 故答案为：1 6.若，且，则的值是　 　． 【答案】 【详解】有， 又有， 联立得到 故答案为 7.已知，则 ． 【答案】198 【分析】观察所求式子猜测可能为定值，通过验算可知，注意到，由此即可进一步求解. 【详解】因为 ， 又， 所以 . 故答案为：198. 8.(1)已知，求的值 (2)求值： 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)(2)根据题意结合指数运算性质分析求解. 【详解】(1)由题意可得：； (2)由题意可得：原式. 9.已知正实数满足. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)将两边平方得. (2)根据平方关系可得，进而结合立方差公式运算求解. 【详解】(1)将两边平方得， 所以. (2)因为是正实数，令， 则，所以， 可得， 所以. 【B组---提高题】 1.正实数及函数满足，且，则的最小值为(　　) ． ． 【答案】 【详解】由已知得， 由 于是可得：， 所以得：，① 设，则①式可得：，又因为， 于是有：或(舍)， 从而得3，即：9， 所以得． 所以有的最小值为． 故选：． 2.，求 ． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 3.计算：． 【答案】 【分析】根据式子的结构，利用整体换元，得到关于x的方程，即可求得. 【详解】设，两边立方， 得：， 即，，∴． ∵，∴，即，∴． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$