第14讲 椭圆双曲线定点与定值问题-《知识提炼 能力训练》2023年新高二数学暑假衔接作业课程

第 14 讲 椭圆、双曲线定点定值问题 一．典型例题 类型一：圆锥曲线的定点问题 例 1.已知椭圆 过点 A（﹣2，﹣1），长轴长为 ． （1）求椭圆 C的方程及其焦距； （2）直线 l：y＝kx+m与椭圆 C交于不同的两点 M，N，直线 AM，AN分别与直线 x＝﹣ 4交于点 P，Q，O为坐标原点且|OP|＝|OQ|，求证：直线 l过定点，并求出定点坐标． 解题策略： 直线过定点问题常用方法如下： (1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的 的一般性证明； (2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直 线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组 的解为坐标的点即为所求点； (3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程 y－y0＝k(x－x0)或截距式 y＝kx ＋b来证明． 例 2.已知椭圆 上的点到两个焦点的距离之和为 4，且右焦点为 （1，0）． （Ⅰ）求椭圆 C的方程； （Ⅱ）设 A，B分别为椭圆 C的左、右顶点，点 P为椭圆 C上一点（不与 A，B重合）， 直线 AP，BP分别与直线 x＝4相交于点 M，N．当点 P运动时，求证：以 MN为直径的 圆交 x轴于两个定点． 例 3.椭圆 C： 的离心率为 ，且过点 A（2，1）． （1）求椭圆 C的方程和长轴长； （2）点 M，N在 C上，且 AM⊥AN．证明：直线 MN过定点． 例 4.已知等轴双曲线 C的焦点在 x轴上，焦距为 ． （1）求双曲线的标准方程； （2）斜率为 k的直线 l过点 P（1，0），且直线 l与双曲线 C的两支分别交于 A、B两点， ①求 k的取值范围； ②若 D是 B关于 x轴的对称点，证明直线 AD过定点，并求出该定点坐标． 例 5.已知离心率为 的椭圆 的左焦点为 F，左、右顶点分别 为 A1、A2，上顶点为 B，且△A1BF的外接圆半径大小为 ． （1）求椭圆 C方程； （2）设斜率存在的直线 l交椭圆 C于 P，Q两点（P，Q位于 x轴的两侧），记直线 A1P、 A2P、A2Q、A1Q的斜率分别为 k1、k2、k3、k4，若 ，则直线 l是否 过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 类型二：圆锥曲线的定值问题 例 6.已知椭圆Γ： ＝1（0＜b＜2）的离心率是 ，点 A是椭圆的上顶点，点 P是椭 圆上不与椭圆顶点重合的任意一点． （1）求椭圆Γ的方程； （2）设圆 C：x2+y2+8x﹣2 y+7＝0．若直线 AP与圆 C相切，求点 P的坐标； （3）若点 M是椭圆Γ上不与椭圆顶点重合且异于点 P的任意一点，点 M关于 x轴的对 称点是点 N，直线 MP、NP分别交 x轴与点 E（m，0）、点 F（n，0），探究 m⋅ n是否为 定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由． 解题策略： 求定值问题常见类型以及解题策略： (1)常见类型： ①证明代数式为定值：依据题设条件，得出与代数式中参数有关的等式，代入代数式 后再化简，即可得出定值； ②证明点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用条 件化简，即可证明； ③证明线段长度、面积、斜率(或以上量的和、差、积、商)等为定值，写出各量的目 标函数解析式，再做消参处理即可． (2)常用策略： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 例 7.已知 A，B分别是椭圆 的右顶点和上顶点， ， 直线 AB的斜率为 ． （1）求椭圆的方程； （2）直线 l∥AB，与 x，y轴分别交于点 M，N，与椭圆相交于点 C，D． （i）求△OCM的面积与△ODN的面积之比； （ii）证明：|CM|2+|MD|2为定值． 例 8.已知椭圆 E： 的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 ，P为椭 圆 E上的一点，且△PF1F2的内切圆半径最大值为 ． （1）求椭圆 E的方程； （2）直线 l：y＝k（x﹣1）交椭圆 E于 P，Q两点，∠PF2Q的角平分线所在的直线与直 线 x＝9 交于点 M，记直线 OM的斜率为 k'，试问 k⋅ k'是否为定值，若是定值，求出该 定值；若不是定值，请说明理由． 例 9.已知 F1，F2是椭圆 C： 的左、右焦点，N（不在 x轴上）是 椭圆 C上一点，M是线段 NF1的中点，△F1MO的周长为 3，离心率为 ． （1）求椭圆 C的标准方程； （2）已知 P是椭圆 C上一点，过 P作圆：x2+y2＝ 的切线 l，直线 l与椭圆 C交于另 一点 Q，判定 OP，OQ的斜率之积是否为定值，若为定值，求出定值． 例 10.已知△ABC的三个顶点都在