第13讲 直线与椭圆、双曲线-《知识提炼 能力训练》2023年新高二数学暑假衔接作业课程

第 13讲 直线与椭圆、双曲线 一．知识点梳理 1.（1） 直线与椭圆的位置关系 直线 y kx m  与椭圆 12 2 2 2  b y a x )0(  ba 的位置关系的判断方法：联立消去 y得到一 个关于 x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值 的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 （2）直线 y kx m  与 2 2 2 2 1 x y a b   的位置关系 将两方程联立可得    2 2 2 2 2 2 2 22 0b a k x kma x a m b     ； 1．二次项系数为 0时， L与双曲线的渐近线平行或重合；重合时无交点，平行时有一 个交点． 2．二次型系数不为 0 时，上式为一元二次方程， （1） 0   直线与双曲线相交（两个交点）； （2） 0   直线与双曲线相切； （3） 0   直线与双曲线相离． 2.弦长公式 (1)解决直线与椭圆、双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方 程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往 往会更简单．记住必须检验． (2)设直线与椭圆、双曲线的交点坐标为直线 l与双曲线交于两点    1 1 2 2A x y B x y， ， ， ，则：  22 21 2 1 2 1 21 1 4AB k x x k x x x x         . (3)利用公式计算直线被椭圆、双曲线截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略 判别式． 3.中点弦问题 设    1 1 2 2A x y B x y， ， ， 为双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   上不同的两点，则有： 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b        ，两式作差可得： 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 x x y y a b    ，即： 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 y y y y b x x x x a       ， 设 AB中点为  0 0M x y， ，即得 2 2 .AB OM bk k a   椭圆中有类似结论，请自行证明。 二、典型例题 例 1．（1）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yE a b a b     ，直线 1 2 y x a  与椭圆 E相切，则椭圆 E的 离心率为 ( ) A． 1 4 B． 1 2 C． 2 2 D． 3 2 （2）已知双曲线 2 2 : 1 4 12 x yC   的右焦点为 F ，点 (0, )A m ，若直线 AF 与C只有一个交点， 则 (m  ) A． 2 B． 4 3 C． 2 3 D． 4 （3）若直线 l过点 (3,0)，且 l与双曲线 2 24 9 36x y  只有一个公共点，则这样的直线有 ( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 （4）若直线 1 ( 2)y k x   与椭圆 2 2 1 16 x y m   恒有两个不同的公共点，则 m 的取值范围 是 ． 例 2已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的离心率为 2 ，实轴长为 2． （1）写出双曲线的渐近线方程； （2）直线 : 1l y kx  与双曲线右支交于不同的两点，求实数 k的取值范围． 例 3.（1）在椭圆 2 2 1( 0) 16 9 x y a b    中，以点 3(2, ) 2 M 为中点的弦所在的直线方程为 ( ) A．3 4 0x y  B．3 4 0x y  C．3 4 12 0x y   D．3 4 12 0x y   （2）若直线 2 0x y m   与椭圆 2 2 1 5 2 x y   交于 A， B两点，且 AM MB   ，则点M 的坐 标可能是 ( ) A． 1 1( , ) 2 10  B． (5, 1) C． 1 1( , ) 2 10 D． (5,1) 变式 1.已知椭圆： 2 2 1 8 x y  ，过点 1 1( , ) 2 2 P 的直线与椭圆相交于 A， B两点，且弦 AB被 点 P平分，求直线 AB的方程为 ( ) A． 98 0 2 x y   B． 98 0 2 x y   C． 98 0 2 x y   D