第12讲 双曲线性质-《知识提炼 能力训练》2023年新高二数学暑假暑假衔接作业课程

第 12 讲 双曲线几何性质 一．知识点梳理 定义 平面上到两定点 1 2F F， 的距离之差的绝对值等于定长 2a的点的轨迹 叫作双曲线， 1 2 1 22 2PF PF a c F F ＝ ＜ ＝ 统一定义．平面内到一定点的距离与到一定直线(不过定点)的距离之 比等于常数e，当 1e＞ 时，动点的轨迹为双曲线，定点为双曲线的焦 点，定直线为相应的准线． 图形 标准方程   2 2 2 2 1 0 x y a b a b  ＝ ， ＞   2 2 2 2 1 0 y x a b a b  ＝ ， ＞ 范围 x a yR，… y a xR，… 对称性 x轴， y轴为对称轴；O为对称中心 焦点，顶点    0 0F c A a ，， ，    0 0F c A a ， ， ， 焦距，两轴 焦距 2 2 2 1 2 2FF c b c a＝ ， ＝ ，实轴 1 2 2A A a＝ ，虚轴 1 2 2B B b＝ 渐近线 b by x y x a a ＝ ， ＝ a ay x y x b b ＝ ， ＝ 焦半径 若P为双曲线右支上任一点，则 1 1r PF ex a＝ ＝ ＋ ， 2 2r PF ex a＝ ＝ ； P为双曲线左支上任一点，则 1 1 exr PF a ＝ ＝ ， 2 2r PF a ex＝ ＝ 若P为双曲线上支上任一点，则 1 1r PF ey a＝ ＝ ＋ ， 2 2r PF ey a＝ ＝ ； 若P为双曲线下支上任一点，则 1 1r PF a ey ＝ ＝ ， 2 2r PF a ey＝ ＝ 准线方程、 离心率 2a cx e c a ＝ ， ＝ 且 1e＞ 2a cy e c a ＝ ， ＝ 且 1e＞ 点与曲线  0 0 1F x y ， ＞ 点  0 0P x y， 在含焦点区域；  0 0 1F x y ， ＝ 点  0 0P x y， 在双曲线上；  0 0 1F x y ， ＜ 点  0 0P x y， 在不含焦点区域． 2.椭圆、双曲线常用结论 椭圆 双曲线 标 准 方 程 )0(12 2 2 2  ba b y a x 焦点 )0,(),0,( 21 cFcF  )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 焦点 )0,(),0,( 21 cFcF  焦 半 径 01 || exaPF  ， 02 || exaPF  aexPF  01 || ， aexPF  02 || 通 径 a b22 a b22 焦 点 弦 长 倾斜角为 的直线过焦点 F与椭圆交于 A、B两点 焦点弦长 22 2 cos1 2 || e a b AB   （分子是通径） 焦点在 y轴上只需余弦改正弦 倾斜角为 的直线过焦点 F与双曲线交于 A、B 两点 焦点弦长 22 2 cos1 2 || e a b AB   （分子是通径） 焦点在 y轴上只需余弦改正弦 焦 点 三 角 形 P 为 椭 圆 上 异 于 长 轴 端 点 的 一 点 ，  21FPF ,  12FPF ,  21PFF （1） 2 tan2 21 bS FPF  （2）离心率   sinsin )sin(   e P 为 双 曲 线 上 异 于 实 轴 端 点 的 一 点 ，  21FPF ,  12FPF ,  21PFF （1） 2 tan 2 21  bS FPF  （2）离心率   sinsin )sin(   e 点 差 法 结 论 1.已知存在斜率的直线 l与椭圆交于 A、B两点，点 M是 AB的中点，O为坐标原点，则 2 2 a bkk ABOM  2.已知 A、B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭 圆上异于 A、B的一点，则 2 2 a bkk PBPA  1.已知存在斜率的直线 l与双曲线交于 A、B两 点，点 M是 AB的中点，O为坐标原点，则 2 2 a bkk ABOM  2.已知 A、B是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上异于 A、B的一点，则 2 2 a bkk PBPA  切 线 方 程 已知 ),( 00 yxP 是椭圆上一点，则椭圆在点 P处的切 线方程为 12 0 2 0  b yy a xx ，若点 P在椭圆外部，那么 方程 12 0 2 0  b yy a xx 是椭圆过点 P的切点弦方程 已知 ),( 00 yxP 是双曲线上一点，则双曲线在点 P处的切线方程为 12 0 2 0  b yy a xx 二．典型例题 例 1.（1）已知双曲线