第11讲 双曲线定义及标准方程-《知识提炼 能力训练》2023年新高二数学暑假衔接作业课程

第 11 讲 双曲线标准方程 一．知识点梳理 1.双曲线定义的理解 定义：把平面内与两个定点 1F ， 2F 的距离的差的绝对值等于非零常数（ 2a）（小于 1 2F F ） 的点（M ）的轨迹叫做双曲线. 1F ， 2F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离（ 1 2F F ）叫 做双曲线的焦距. 即双曲线是点的集合：  1 21 2 2 0 2,P M MF aMF a F F    ① 1 2 2MF MF a  （或 1 2 2MF MF a   ）：双曲线（两支） ② 1 2 2MF MF a  （因为 1 2MF MF ）：双曲线右支 1 2 2MF MF a   （或 2 1 2MF MF a  ）：双曲线左支 ③ 1 2 1 2MF MF FF  （即 1 22a F F ）：两条射线 ④ 1 2 1 2MF MF FF  （即 1 22a F F ）：不表示任何曲线 ⑤ 1 2 0MF MF  （即 1 2MF MF ）：线段 1 2FF 的中垂线 2.双曲线的标准方程 1.当焦点在 x轴上时，双曲线的标准方程： 2 2 2 2 1 x y a b   ( 0, 0)a b  ，其中 2 2 2c a b  ； 2.当焦点在 y轴上时，双曲线的标准方程： 2 2 2 2 1 y x a b   ( 0, 0)a b  ，其中 2 2 2c a b  3.椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） 2 2 2 2 1 x y a b   ， 2 2 2 2 1 y x a b   （a＞b＞0） 2 2 2 2 1 x y a b   ， 2 2 2 2 1 y x a b   （a＞0，b＞0，a不一定大于 b） 2 2 2a b c  （a最大） 2 2 2c a b  （c最大） 标准方程统一为： 2 2 1x y m n   方程 Ax 2 +By 2 =C（A、B、C 均不为零）表示双曲线的条件 方程 Ax 2 +By 2 =C 可化为 2 2 1Ax By C C   ，即 2 2 1x yC C A B   ， 所以只有 A、B 异号，方程表示双曲线。 当 0, 0C C A B   时，双曲线的焦点在 x轴上； 当 0, 0C C A B   时，双曲线的焦点在 y轴上。 4.几何性质 焦点的位置 焦点在�轴上 焦点在�轴上 图象 标准方程 �2 �2 − �2 �2 = 1(� > 0, � > 0) �2 �2 − �2 �2 = 1(� > 0, � > 0) 范围 � ≤− �或� ≥ �, � ∈ � � ≤− �或� ≥ �, � ∈ � 顶点 �1 −�, 0 、�2 �, 0 �1 0, − � 、�2 0, � 轴长 虚轴长 2�，实轴长 2� 焦点 �1 −�, 0 、�2(�, 0) �1 0, − � 、�2(0, �) 焦距 �1�2 = 2� �、�、�的关系 �2 = �2 + �2 重要结论：双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   上一点 P，到同侧焦点距离的最小值是 c a ；到异侧焦点 距离的最小值是 c a . 5.焦点三角形 点M是双曲线上一点，△ 1 2MFF 称为焦点三角形. 设双曲线方程为 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     ， 1 2FMF   ， 记 1 1MF r ， 2 2MF r ，（完全是为了书写方便） 在焦点三角形 1 2MFF 中，由双曲线定义得 1 2 2r r a  ， ① 将①式两端平方得 2 2 2 1 2 1 22 4r r r r a   ，② 由余弦定理得 221 2 2 2 1 2 21 4cos2 crrrrFF   ，③ ③-②得 2 2 1 2 1 2 22 (1 cos ) 4 1 cos br r b r r       ，④ 所以，△ 1 2MFF 的面积 2 2 2 2 1 2 1 1 2 sinsin sin 1 cos2 2 1 cos 1 cos tan sin 2 b b b bS r r                . （半角正切公式 sin 1 cos tan 1 cos sin 2          ） 重要结论: 2 1 2 1 sin 2 tan 2 M bS r