第10讲 椭圆性质-《知识提炼 能力训练》2023年新高二数学暑假衔接作业课程

第 10 讲 椭圆的几何性质 一．知识点梳理 1.椭圆的几何性质 标准方程 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0) y 2 a2 ＋ x2 b2 ＝1(a＞b＞0) 图形 对称性 关于 x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点坐标 (a,0)，(－a,0)， (0，b)，(0，－ b) (b,0)，(－b,0)， (0，a)， (0，－a) 焦点坐标 (c,0)，(－c,0) (0，c)，(0，－c) 半轴长 长半轴长为 a，短半轴长为 b，a＞b 离心率 e＝ c a a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心． 离心率表示椭圆的扁平程度．当 e越接近于 1时，c越接 近于 a，从而 b＝ a2－c2越小，因此椭圆越扁． 2.椭圆的常用结论 (1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b 2 a ，过焦点最长弦为长轴． (2)过原点最长弦为长轴长 2a，最短弦为短轴长 2b. (3)与椭圆x 2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)有共焦点的椭圆方程为 x 2 a2＋λ ＋ y2 b2＋λ ＝1(λ＞－b2)． (4)已知过焦点 F1的弦 AB，则 2ABF△ 的周长为 4a． (5)焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点 F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若 r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为 S，则在椭圆x 2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)中： ①当 r1＝r2，即点 P为短轴端点时，θ最大； ②S＝1 2 |PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点 P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为 bc； ③△PF1F2的周长为 2(a＋c)． 二．典型例题 例 1.（1）若椭圆 2 2 2 2( 1) 1m x m y   的焦距大于 2 ，则m的取值范围是 ( ) A． 1 1( , ) 2 2  B． 1 1( ,0) (0, ) 2 2   C． ( 1,1) D． ( 1 ， 0) (0 ，1) （2）椭圆 2 2 1 12 4 x y   和 2 2 1( 16 8 x y   ) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同 （3）已知 A是椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的右顶点，焦距为 4，直线 ( 0)y kx k  交C于 P， Q两点，若直线 AP与直线 AQ的斜率之积为 1 2  ，则椭圆C的方程为 ( ) A． 2 2 1 6 2 x y   B． 2 2 1 8 4 x y   C． 2 2 1 9 5 x y   D． 2 2 1 32 16 x y   例 2.（1）．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yE a b a b     的右焦点为 2F ，左顶点为 A，若 E上的点 P满 足 2PF x 轴， 2 3sin 5 PAF  ，则 E的离心率为 ( ) A． 1 2 B． 2 5 C． 1 5 D． 1 4 （2）已知椭圆 2 2 : 1 25 9 x yC   的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，直线 y kx 与椭圆C交于 A，B 两点，若 1 2| | | |AB F F ，则 1ABF 的面积等于 ( ) A．18 B．10 C．9 D．6 （3）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ， A为C 上位于第一象 限的一点， 1AF 与 y轴交于点 B．若 1 2 2 60F AF AF B    ，则C的离心率为 ( ) A． 3 3 B． 2 2 C． 5 4 D． 2 2 5 例 3.（1）.点P是椭圆   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     上的一动点， 1F 、 2F 为左右焦点． （1） | |PO 的取值范围是___________； （2） || 1PF 的取值范围是___________； （3） |||| 21 PFPF  的取值范围是___________； （4） 1 2PF PF   的取值范围是___________. （2）设椭圆 1 1216 22  yx 的左右两个焦点分别是 1F 、 2F ，P是椭圆上的一个动点，点 A的 坐标是 )1,3( ． （1）求 |||| 2PFPA  的最小值和最大值；（2）求 |||| 2PFPA  的最小值和最大值． （3）已知椭圆 2 2 : 1 9 5 x yC   的左、右焦点分别为