第9讲 椭圆的标准方程-《知识提炼 能力训练》2023年新高二数学暑假衔接作业课程

第 9 讲 椭圆的标准方程 一．知识点梳理 1．椭圆的定义 ① 定义： 我们把平面内与两个定点 1 2F F， 的距离之和等于常数（大于 1 2| |F F ）的点的轨 迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． ②若 P为某一椭圆上的点，  1 2 1 22 2 .PF PF a a F F   则： （1）该椭圆上任意一点到 1 2F F， 的距离之和等于定长 2a ； （2）定长 1 22a F F . 2．椭圆的标准方程 若 1 2 2PF PF a  ，则点 P的轨迹是一个椭圆，其方程为： 1．焦点在 x轴上， 1( 0)F c ， ， 2 ( 0)F c， ： 2 2 2 2 2 2 2 1( 0 ) x y a b a c a b c a b       ， ， 2．焦点在 y轴上， 1(0 )F c， ， 2 (0 )F c， ： 2 2 2 2 2 2 2 1( 0 ) y x a b a c a b c a b       ， ， 3.椭圆几何性质： 定义 平面上到两定点 1 2F F， 的距离之和等于定长 2a的点的轨迹，叫作椭圆， 1 2 1 22 2PF PF a c FF＋ ＝ ＞ ＝ 统一定义：平面内到一定点的距离与到一定直线(不过定点)的距离之比 等于常数e，当0 1e＜ ＜ 时，动点的轨迹为椭圆，定点为椭圆的焦点，定 直线为相应的准线． 图形 标准方程   2 2 2 2 1 0 x y a b a b ＋ ＝ ＞ ＞   2 2 2 2 1 0 y x a b a b ＋ ＝ ＞ ＞ 范围 x a y b，„ „ y a x b，„ „ 对称性 x轴， y轴为对称轴；O为对称中心． 焦点、顶点      0 0 0F c A a B b  ，， ，， ，      0 0 0F c A a B b  ， ， ， ， ， 焦距、两轴 焦距 2 2 2 1 2 2FF c b a c＝ ， ＝ ，长轴 1 2 2A A a＝ ，短轴 1 2 2B B b＝ 离心率 ce a ＝ 且0 1e＜ ＜ 点与曲线  0 0 1F x y ， ＞ 点  0 0P x y， 在椭圆外；  0 0 1F x y ， ＝ 点  0 0P x y， 在椭圆上；  0 0 1F x y ， ＜ 点  0 0P x y， 在椭圆内 4.椭圆的通径 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为 22b a ． 5.椭圆上一点的有关最值 ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点． 距离的最大值为 a c ，距离的最小值为 a c ． 二．典型例题 例 1.（1）平面内一动点M 到两定点 1F 、 2F 距离之和为常数 2a，则点M 的轨迹为 ( ) A．椭圆 B．圆 C．椭圆或线段或不存在 D．不存在 （2）已知 A点的坐标为 1( 2  ，0)，B是圆 2 21: ( ) 4 2 F x y   上一动点，线段 AB的垂直平 分线交 BF于 P，则动点 P的轨迹为 （图形） （3）（多选）下列说法中正确的是 ( ) A．已知 1( 4,0)F  ， 2 (4,0)F ，平面内到 1F ， 2F 两点的距离之和等于 8的点的轨迹是线段 B．已知 1( 4,0)F  ， 2 (4,0)F ，平面内到 1F ， 2F 两点的距离之和等于 6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点 1( 4,0)F  ， 2 (4,0)F 两点的距离之和等于点 (5,3)M 到 1F ， 2F 的距离之和的 点的轨迹是椭圆 D．平面内到点 1( 4,0)F  ， 2 (4,0)F 距离相等的点的轨迹是椭圆 （4）已知平面内动点 P到两定点 1F ， 2F 的距离的和等于常数 2a，关于动点 P的轨迹正确 的说法是 ． ①点 P的轨迹一定是椭圆； ② 1 22 | |a F F 时，点 P的轨迹是椭圆； ③ 1 22 | |a F F 时，点 P的轨迹是线段 1 2F F ； ④点 P的轨迹一定存在； ⑤点 P的轨迹不一定存在． 例 2.（1）已知椭圆 2 2 : 1 3 5 x yC k k     的焦点在 y轴上，则实数 k的取值范围为 ( ) A． ( 3,1) B． (1,5) C． ( 3,5) D． (1,3) （2）“ 1 7m   ”是“方程 2 2 1 1 7 x y m m     表示椭圆”的 ( ) A．充分不必