第8讲 圆的解析问题-《知识提炼 能力训练》2023年新高二数学暑假衔接作业课程

第 8 讲 圆的解析问题 一．典型例题 例 1．已知直线 : ( 1) 2 5 3 0( )l k x y k k R      恒过定点 P，圆C 经过点 (4,0)A 和点 P，且 圆心在直线 2 1 0x y   上． （1）求定点 P的坐标； （2）求圆C的方程； （3）已知点 P为圆C直径的一个端点，若另一个端点为点Q，问：在 y轴上是否存在一点 (0, )M m ，使得 PMQ 为直角三角形，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 例 2．在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 :8 6 1 0l x y   ，圆 2 21 : 8 2 13 0C x y x y     ， 圆 2 22 : 8 8 16 12 0C x y tx y t      ． （1）当 1t   时，试判断圆 1C 与圆 2C 的位置关系，并说明理由； （2）若圆 1C 与圆 2C 关于直线 l对称，求 t的值； （3）在（2）的条件下，若 ( , )P a b 为平面上的点，是否存在过点 P的无穷多对互相垂直的 直线 1l 和 2l ，它们分别与圆 1C 与圆 2C 相交，且直线 1l 被圆 1C 截得的弦长与直线 2l 被圆 2C 截 得的弦长相等，若存在，求点 P的坐标，若不存在，请说明理由． 例 3．已知圆C过 (2,0)B ． （1）若圆C与圆 2 2 2: ( 1)D x y r   关于直线 y x 对称，试判断圆 D与圆C的位置关系； （2）若圆C过点 (0,2)A ，圆心在圆 2 2 2x y  的内部，且直线 3 4 5 0x y   被圆C所截得 的弦长为 2 3，点 P为圆C上异于 A，B的任意一点，直线 PA与 x轴交于点M ，直线 PB 与 y轴交于点 N． ①求圆C的方程； ②求证： | | | |AN BM 为定值． 例 4．已知圆M 的方程为 2 2( 2) 1x y   ，直线 l的方程为 2 0x y  ，点 P在直线 l上，过 P点作圆M 的切线 PA、 PB，切点为 A、 B． （1）若点 P的坐标为 (0,0)，求 APB ； （2）若点 P的坐标为 (2,1)，过 P作直线与圆M 交于C、D两点，当 2CD  时，求直线CD 的方程； （3）经过 A、P、M 三点的圆是否经过异于点M 的定点，若经过，请求出此定点的坐标； 若不经过，请说明理由． 例 5．已知以点 (C a， 2)(a R a  ， 0)a  为圆心的圆与 x轴相交于O， A两点，与 y轴相交 于O， B两点，其中O为原点． （1）当 2a  时，求圆C的标准方程； （2）当 a变化时， OAB 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由； （2）设直线 : 2 4 0l x y   与圆C相交于M ， N两点，且 | | | |OM ON ，求 | |MN 的值． 例 6．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 (0,3)A ，直线 : 2 4l y x  ，设圆C 的半径为 1， 且圆心C在直线 l上． （1）若圆心C 的坐标为 (3,2)，过点 A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M ，使 2MA MO ，求圆心C的横坐标 a的取值范围． 例 7．已知圆 2 2: 4O x y  ，点 ( 4,0)G  ． （1）设 (2,3)P ，求过点 P且与 O 相切的直线方程； （2）已知直线 : ( 0)l x my n m   与 O 相交于M 、N两点，过点G作GQ l ，垂足为Q．若 MGO NGO   恒成立，问是否存在定点 R，使得 | |RQ 为定值．若存在，求出点 R的坐标 及 | |RQ 的值；若不存在，请说明理由． 例 8．已知圆 2 2: ( 3) 9M x y   ．设 (2,0)D ，过点 D作斜率非 0的直线 1l ，交圆M 于 P、 Q两点． （1）过点D作与直线 1l 垂直的直线 2l ，交圆M 于 EF 两点，记四边形 EPFQ的面积为 S， 求 S的最大值； （2）设 (6,0)B ，过原点O的直线OP与 BQ相交于点 N，试讨论点 N是否在定直线上，若 是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 二．举一反三 1．若圆 2 21 :C x y m  与圆 2 2 2 : 6 8 16 0C x y x y     外切． （Ⅰ）求实数m的值； （Ⅱ）若圆 1C 与 x轴的正半轴交于点 A，与 y轴的正半轴交于点 B，P为第三象限内一点， 且点 P在圆 1C 上，直线 PA与 y轴交于点M ，直线 PB与 x轴交于点 N