第6讲 直线与圆的位置关系-《知识提炼 能力训练》2023年新高二数学暑假衔接作业课程

第 6 讲 直线与圆 一．知识点梳理 1：直线与圆的位置关系 由平面几何知，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点. 直线 Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断一览表 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 个 1个 0个 判定 方法 几何法：设圆心到 直线的距离 2 2 | |    Aa Bb Cd A B d r d r d r 代数法： 由    2 2 2 0        Ax By C x a y b r 消元得到一元二次 方程的判别式 0  0  0  图形 2.圆的切线方程的问题 （1）过圆上一点的切线方程： 与圆 2 2 2x y r  相切于点  1 1x y， 的切线方程是 21 1x x y y r  ； 与圆 2 2 2x y r  相切于点  cos sinr r ， 的切线方程是： cos sin 0x y r    ； 与 圆    2 2 2x a y b r    相 切 于 点  1 1x y， 的 切 线 方 程 是       21 1x a x a y b y b r      ； （2）过圆外一点的切线方程： 设  0 0 0P x y， 是圆     2 2 2x a y b r    外一点，求过 0P点的圆的切线方程. 当两条切线斜率都存在时，设切线方程是  0 0y y k x x   ，即 0 0 0kx y kx y    ，再 由 0 0 2 1 ka b kx y r k      求出待定系数 k，就可写出切线方程.当有一条切线斜率不存在时， 斜率不存在的切线方程为 0x x ，切线斜率存在的切线方程的求法同上. 3. 直线与圆相交的弦长的求法 （1）几何法 如图所示，直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，线段 AB 的长即为 l 与圆相交的弦长. 设弦心距为 d ，半径为 r，弦为 AB，则有 2 22AB r d  . （2）代数法 直线 l 与圆交于    1 1 2 2A x y B x y， ， ， ，直线 l 的斜率存在，设为 k，则联立直线方程和圆 的方程得方程组. 方法一：解方程组得点 A、B 的坐标，再由两点间的距离公式求弦长 AB . 方法二：消去一个未知数得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系可得弦长 2 1 2 1 22 11 1AB k x x y y k       ，其中 k 为直线的斜率且 k≠0.特别地，当 k=0 时， 可直接利用 1 2AB x x  计算；当 k 不存在时，可直接利用 1 2AB y y  计算. 温馨提示 ①几何法构造了直角三角形，计算量小，非常适合求直线与圓相交的弦长. ②代数法是方程思想在解析几何中的重要体现，也是解析几何的实质，即用代数法研究几何 问题. 二．典型例题 例 1.（1）．已知圆 2 21 : ( 2) ( 1) 9O x y    和直线 : 1 0l x y   ．若圆 2O 与圆 1O 关于直线 l 对称，则圆 2O 的方程为 ( ) A． 2 2( 3) 9x y   B． 2 2( 3) 9x y   C． 2 2( 2) ( 3) 9x y    D． 2 2( 3) ( 2) 9x y    （2）如果圆 2 2 2 20( 4 0)x y Dx Ey F D E F        关于直线 y x 对称，则有 ( ) A． 0D E  B．D E C．D F D． E F （3）圆 2 2( 2) ( 12) 4x y    关于直线 6 0x y   对称的圆的方程为 ( ) A． 2 2( 6) ( 4) 4x y    B． 2 2( 4) ( 6) 4x y    C． 2 2( 4) ( 6) 4x y    D． 2 2( 6) ( 4) 4x y    例 2.（1）从点 (2,3)P 射出两条光线的方程分别为： 1 : 4 3 1 0l x y   和 2 : 3 4 6 0l x y   ， 经 x轴反射后都与圆 2 2( ) ( ) 1x a y b    相切，则圆的方程为 ． （2）过点 (0, 2) 与圆 2 2 4 1 0x y x    相切