第5讲 圆的方程-《知识提炼 能力训练》2023年新高二数学暑假衔接作业课程

第 5 讲 圆的方程 一．知识点梳理 1.圆的标准方程 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆， 定点称为圆心，定长称为圆的半径。 确定圆的基本要素是：圆心和半径 圆的方程：圆心为  ,A a b ，半径长为 r的圆的标准方程为    2 2 2   x a y b r 几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点  2 2 2 0  rx y r 圆过原点      2 2 2 2 2 2 0      x a y b a b a b 圆心在 x轴    2 2 2 0   x a y r r 圆心在 y轴    22 2 0   x y b r r 圆心在 x轴上且过原点    2 2 2 0   x a y a a 圆心在 y轴上且过原点    22 2 0   x y b b b 圆与 x轴相切      2 2 2 0    y b b bx a 圆与 y轴相切      2 2 2 0    y b a ax a 圆与两坐标轴都相切      2 2 2 0    y b a a bx a 2.点和圆的位置关系 圆的标准方程为    2 2 2   x a y b r ，圆心  ,A a b ，半径为 r . 设所给点为  0 0,M x y ，则     2 2 2 0 0   x a y b r 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 MA r⇔点M 在圆 A上 点M 在圆上⇔    2 2 20 0   x a y b r 点在圆内 MA r ⇔点M 在圆 A内 点M 在圆内⇔    2 2 20 0  x a y b r 点在圆外 MA r⇔点M 在圆 A外 点M 在圆外⇔    2 2 20 0  x a y b r 3.圆的一般方程 ①定义：当 2 2 4 0D E F   时，方程 2 2 0x y Dx Ey F     叫做圆的一般方程. 其中 , 2 2 D E      为圆心， 2 21 4 2 D E F  为半径. ②一般方程与标准方程关系： 由方程 2 2 0x y Dx Ey F     得 2 2 2 2 4 2 2 4 D E D E Fx y                （1）当 2 2 4 0D E F   时，方程只有实数解 , 2 2 D Ex y    .它表示一个点 ( , ) 2 2 D E   . （2）当 2 2 4 0D E F   时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当 2 2 4 0D E F   时，可以看出方程表示以 , 2 2 D E      为圆心， 2 21 4 2 D E F  为半径的圆. 4、用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”，大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程. （2）根据已知条件，建立关于 a b r、 、 或D E F、 、 的方程组. （3）解方程组，求出 a b r、 、 或D E F、 、 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到 所求圆的方程. 二．典型例题 例 1.（1）已知一个圆的方程满足：圆心在点 ( 3,4) ，且过点原点，则它的方程为 ( ) A． 2 2( 3) ( 4) 5x y    B． 2 2( 3) ( 4) 25x y    C． 2 2( 3) ( 4) 5x y    D． 2 2( 3) ( 4) 25x y    （2）．已知圆C的圆心为 (1,0)，且与直线 2y  相切，则圆C 的方程是 ( ) A． 2 2( 1) 4x y   B． 2 2( 1) 4x y   C． 2 2( 1) 2x y   D． 2 2( 1) 2x y   （3）已知圆的一条直径的端点分别为 1(2,5)P ， 2 (4,3)P ，则此圆的标准方程是 ( ) A． 2 2( 3) ( 4) 8x y    B． 2 2( 3) ( 4) 8x y    C． 2 2( 3) ( 4) 2x y    D． 2 2( 3) ( 4) 2x y    例 2.（1）圆 2 2 2 4 6 0x y x y    