第4讲 直线的交点及平面上的距离-《知识提炼 能力训练》2023年新高二数学暑假衔接作业课程

第 4 讲 两条直线的交点及平面上的距离 一．知识点梳理 1 两条直线的交点 设两条直线的方程是�1 : �1 � + �1 � + �1 = 0 , �2 : �2 � + �2 � + �2 = 0， 两条直线的交点坐标就是方程组 �1 � + �1 � + �1 = 0 �2 � + �2 � + �2 = 0 的解. (1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； (3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合. 2 经过两直线交点的直线系 过两条已知直线�1: �1� + �1� + �1 = 0和�2: �2� + �2� + �2 = 0交点的直线系方程 �1� + �1� + �1 + � �2� + �2� + �2 = 0 (� ∈ � ,这个直线系下不包括直线�2: �2� + �2� + �2 = 0，解题时注意检验�2是否满足题意) 3.点到点的距离 距 离 公 式 ： 平 面 内 两 点  1 1 1,P x y ，  2 2 2,P x y 间 的 距 离 公 式 为 ：    2 21 2 1 2 1 2   PP x x y y . 【注意】公式中 1P和 2P 位置没有先后之分，也可以表示为：     2 2 1 2 2 1 2 1   PP x x y y 三种特殊距离： （1）原点O到任意一点  ,P x y 的距离为 2 2 OP x y ； （2）当 1 2PP 平行于 x轴时， 1 2 2 1 PP x x ； （3）当 1 2PP 平行于 y轴时， 1 2 2 1 PP y y . 4.中点坐标公式：若  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则线段 AB的中点  ,M x y 的坐标公式为： 1 2 2   x xx ， 1 2 2   y yy . 5.点到直线的距离 定义：点到直线的垂线段的长度. 距离公式：点  0 0,P x y 到直线 : 0  l Ax By C 的距离 0 02 2     Ax By C d A B . 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离； （3）带你到直线的距离公式适用于任何情况，其中点 P在直线 l上时，它到直线的距离为 0. 6.平行线间的距离 距离公式：两条平行直线 1 1: 0  l Ax By C ，  2 2 1 2: 0   l Ax By C C C ， 它们之间的距离为： 1 2 2 2    C C d A B 【注意】在使用公式时，两直线方程中 x和 y的系数对应相等。 两平行线间的距离另外一种解法： 转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点）， 此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。 7.点关于点的对称问题 实质：该点是两对称点连线段的中点 方法：利用中点坐标公式 平面内点  00 , yxA 关于  baP , 对称点坐标为  00 2,2 ybxa  ， 平面内点  11 , yxA ，  22 , yxA 关于点        2 , 2 2121 yyxxP 对称 8.直线关于点的对称问题 实质：两直线平行 法一：转化为“点关于点”的对称问题（在 l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交 点），求出各自关于 A 对称的点，然后求出直线方程） 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相 等） 9.点关于直线的对称问题 实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线 当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称 点的坐标，一般地：设点  0 0,x y 关于直线 0  Ax By C 的对称点  ,x y' ' ， 则 ' 0 ' 0 ' ' 0 0 1 0 2 2                 y y A x x B x x y yA B c 当直线斜率不存在时：点  0 0,x y 关于 mx  的对称点为  0 02 ,m x y 10.直线关于直线的对称问题 当 1l 与 l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 当 1l 与 l 平行时：对称直线与已知直线平行. 二．典型例题 例 1.（1）若直线 2 4y x   与直线 y kx 的交点在直线 2y x  上，则实 数 (