第02讲 数集的认识（2）-《知识提炼 能力训练》2023年新高一数学暑假衔接作业课程

1 第二讲 数集的认识（2） 一、知识梳理 1.子集的相关概念 (1)子集、真子集、集合相等概念 ①子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A中任意一个元素，都是集合B中的元素， 就称集合 A为集合 B的子集 A⊆B(或 B⊇A) Venn图：我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn图. ②集合相等 一般地，如果集合 A中的任何一个元素都是集合 B的元素，同时集合 B的任何一个元素都 是集合 A的元素，那么集合 A与集合 B相等，记作 A＝B，也就是说，若 A⊆B，且 B⊆A， 则 A＝B. ③真子集的概念 如果集合 A⊆B，但存在元素 x∈B，且 x∉ A，就称集合 A是集合 B的真子集，记作 A⊊ B(或 B⊊ A). (2)空集 注意区分与空集有关的符号：∅ ，0，{∅ }，{0} 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅ .规定：空集是任何集合的子集.空集 是任何非空集合的真子集 2.集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即 A⊆A. (2)对于集合 A，B，C： ①若 A⊆B，且 B⊆C，则 A⊆C； ②若 A B，B C，则 A⊊ C； ③若 A⊆B，A≠B，则 A⊊ B. 补集的概念 注意补集是相对于全集而言的，没有全集补集就不存在 (1)全集 ①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. ②记法：全集通常记作 U. (2)补集 文字语言 对于一个集合 A，由全集 U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合 A 2 相对于全集 U的补集，记作∁ UA 符号语言 ∁ UA＝{x|x∈U，且 x∉ A} 图形语言 对补集定义的理解要注意以下几点： （1）补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集. 比如当研究数的运算性质时，我们常常将实数集 R当做全集. （2）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，当然也是一种数学思 想. （3）从符号角度来看，若 Ux ， UA ，则 Ax 和 ACx U 二者必居其一. 二、典型例题 例 1. 用符号“ ”、“ ”、“”或“”填空： (1)  , , ,a b c d  ,a b ； (2)   1,2,3 ； (3) N Q ； (4) 0 R ； (5) d  , ,a b c ； (6)  | 3 5x x  }60|{  xx 例 2.（1）写出集合{a，b}的所有子集及其真子集； （2）写出集合{a，b，c}的所有子集及其真子集； 例 3.说出下列每对集合之间的关系． （1）A＝｛1，2，3，4，｝，B＝｛3，4｝． （2）P＝｛x｜x2＝1｝，Q＝｛-1，1｝． （3）N，N*． 例 4 .设集合  1 2A x x   ， B x x a  ，且 A B ，则实数 a的范围是（ ） . 2Aa  B. 2a  C. 1a  D. 1a  3 变式 若 A= }023|{ 2  xxx ， }0)1(|{ 2  aaxxx 且ＢＡ，则 a的值为______ 例 5.判断集合 A与 B是否相等？ （1）A={0}，B= ； （2）A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,mZ} ； （3）A={x| x=2m-1 ,mZ}，B={x| x=2m+1 ,mZ}． （4）判断集合  2A x x  与集合  2 4 0B x x   的关系． 变式.已知三元集合 A＝｛ yxxyx ,, ｝，B＝｛ yx |,|,0 ｝，且 A＝B，求 yx与 的值。 例 6. 选用适当的符号“ ”或“ ”填空： (1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _． 例7. 已知集  2 2 3 0A x x x    ，  1 0B x ax   若ＢＡ，求 a的值所组成的集 合M。 4 变式.若集合 A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且 B⊆A，求 m的值． 例 8.已知集合 A＝｛x|－2≤x≤5｝，B＝｛x|m＋1≤x≤2m－1｝，若 BA，求实数 m的取值范围. 三、课堂练习 1.已知集合 A＝｛ cba ,, ｝，B＝ }|{ Axx  ，则集合 B的真子集个数最多是（ ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2.设集合Ｍ｛1,2,3,4,5｝，且 a∈M时，6－ a∈M，则集合M的个数______________． 3.写出满足条件｛0