第01讲 数集的认识（1）-《知识提炼 能力训练》2023年新高一数学暑假衔接作业课程

1 第一讲 数集的认识（1） 一、知识梳理 元素与集合：一般地，我们把研究对象统称为元素（用小写英文字母 a、b、c表示），把一 些元素组成的总体叫做集合(简称为集).用大写英文字母 A、B、C等表示，1.集合元素的特性： 确定性：集合中元素的从属性要明确 反例：大树、好人 互异性：集合中元素必须能判定彼此 反例：2，2 无序性：集合中元素排列没有顺序 如：{1,2,3} {2,1,3} 2.集合与元素的关系：若 a属于 A，记作 a∈A；若 b不属于 A，记作 b∉ A. “∈”的开口方向，不能把 a∈A颠倒过来写。 [规定]（1）集合中相同元素只写一个代表；如：方程 2( 2) 0x   的解集{2} （2）集合与元素的关系（属于 belong to，不属于 not belong to） 符号： a A ， a A 二者必居其一 3.集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。 （2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内 表示集合的方法。 格式：{x∈A| P（x）} 含义：在集合 A中满足条件 P（x）的 x的集合。 例如，不等式 03 x 的解集可以表示为： 或 所有直角三角形的集合可以表示为： 注：在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。 如：{直角三角形}；{大于 104的实数} 错误表示法：{实数集}；{全体实数} （3）、文氏图（Venn图示法）：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合 的方法，如：“book中的字母” 构成一个集合 注：何时用列举法？何时用描述法？ （1） 有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。 如：集合 }yx2,-2,5y3x,{x 2232  b,o,k 2 （2） 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常 用描述法。 3.常见数集及其符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或 N＋ Z Q R 4.解集：方程、方程组、不等式、或不等式组所有解构成的全体叫该方程（组）或不等式（组） 的解集，如 2{ | 5 6 0} {2, 3}x x x    ，{ | 2 6 0} { | 3}x x x x     。 5.集合的分类：①数集、点集；②有限集、无限集，空集。 空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如： 012  xRx 二、典型例题 例 1. 判断下列各组对象能否组成集合： （1）不等式3 2 0x   的解； （2）我班中身高较高的同学； （3）直线 2 1y x  上所有的点； （4）不大于 10且不小于 1的奇数。 变式：给出下列说法： （1）较小的自然数组成一个集合； （2）集合{1，-2， 3，π}与集合{π，-2， 3，1}是同一个集合； （3）若 a R，则 aQ； （4）已知集合{ x， y ， z }与集合{1，2，3}是同一个集合，则 x =1， y =2， z =3 其中正确说法个数是（ ） 例 2.集合 A是由元素 n2-n，n-1 和 1组成的，其中 n∈Z，求 n的取值范围。 例 3.已知M= },,2{ ba N= },2,2{ 2ba 且M=N，求 a,b的值 3 变式 1.已知集合 A={x， x y ,1},B={x2,x+y,0}，若 A=B，则 x2023+y2023的值为 ， A=B= . 变式 2.(1)若-3∈{a-3,2a-1,a2-4}求实数 a的值； (2)若 m m   1 1 ∈{m},求实数 m的值。 例 4. 用符号或填空： （1）2______N （2） 2 ______Q （3）0____ （4）0______ 0 （5）b ______ , ,a b c （6）0______ *N 变式 （1）0与集合{0}是什么关系？∅ 与集合{∅ }呢？ （2）用符号或填空： （1）  2 3 ____ 11x x  （2）  2 *3____ 1,x x n n  N （3）    21,1 ____ y y x  （4）     21,1 ____ ,x y y x  例 5. 写出下列集合中的元素（并用列举法表示）： （1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 （2）大于 10而小于 20的合数组成的集合 例 6 .用描述法表示下列集合： （1）被 5除余 1的正整数所构成的集合 （2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 （3）函数 22 1y x x   的图像上所有的点 （4） }