第13讲 函数的因变量-《知识提炼 能力训练》2023年新高一数学暑假衔接作业课程

1 第十三讲 函数的因变量 一、知识梳理 初中里我们学习了一次函数、反比例函数和二次函数这样几种函数，请做出它们的解析式和 图像，并对照图像说明三种函数的值域。 一、函数的值域 1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示； 2、分段函数的值域是各个区间上值域的并集； 3、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范 围分别进行叙述； 4、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集； 5、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结； 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。 研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。 确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。 三、函数的值域的求法 求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累.除了上 述常用的方法外，还有很多方法，应注意选择最优的解法.总之，求函数的值域关键是要重 视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约. 1.直接法（观察法）：根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数 2.配方法 ：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域 3.换元法：通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用 三角代换）等 4.分离常数法：将形如 bax dcxy    （ 0a ）的函数分离常数，变形过程为： bax a bcd a c bax a bcdbax a c bax dcx         )( ， 再结合 x的范围确定 bax a bcd   的取值范围，从而确定函数值域. 二、典型例题 一 通用方法 2 1．换元法 有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，通 过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、实行这种“变量 代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元 法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原 函数的值域． 例 1.求   1f x x x   的值域； 例 2.求函数 2 4 1y x x   的值域； 2．数形结合 对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图 像来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域， 用数形结合法，使运算过程大大简化； 例 3.求函数 2 2 2 3 ( 2 0) ( ) 2 3 (0 3) x x x f x x x x            的值域． 例 4.求函数    2 22 8y x x    的值域。 例 5.求函数 2 24 5 4 8y x x x x      的值域； 3 例 6.对 ,a b R ，记   , max , , a a b a b b a b     ，求函数    max 1 , 2 ,f x x x x R    的 最小值。 二 特殊方法 3．直接观察 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 7.求函数 3y x  的值域； 例 8.求函数 2 1 3y x x    的值域 2．配方法 主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． 对于求二次函数  2 0y ax bx c a    或可转化为形如        2 0f x a g x bg x c a      的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通 过配方法来进行求解； 例 9.求函数  2 2 5, 1,2y x x x     的值域； 例 10.求二次函数  2 4 2, 1,4y x x x     的值域； 4 例 11.求  2,1,56)( 24  xxxxf 的最大值 例 12.设 0784 22  xyx ，求 22 yx  的最值 例 13.求函数 32 2)( 2   xx xf 的值域 4．判别式法 一般地，形如       2 2 2, , ax bx cf x ax b cx dx e f x ax b cx d f x dx ex f                     2 2 2, , ax bx cf x ax b cx