第12讲 函数的概念和图像-《知识提炼 能力训练》2023年新高一数学暑假衔接作业课程

1 第十二讲 函数的概念和图像 一、知识梳理 1.函数的定义 设 A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一个 数 x，在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B为从集合 A到集 合 B的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A. 2.函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x的值 相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合 B的子集． 3.函数的三要素：定义域、对应关系和值域． 4.函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 5.检验图形是否为函数图像的方法 要判断一个图形是否是函数图象，首先要看图形对应的 x 轴部分上的任意一个 x是否都有唯一的 y与之对应.若是，则该图形是函数的图象；若至少 有一个 x值，存在两个或两个以上的 y与之对应，则此图形一定不是函数的图象.或者过图 形上任一点，作 x轴的垂线，若该垂线与图形无任何其他的公共点，则此图形是函数的图象， 否则该图形一定不是函数的图象. 除上述之外，还要关注函数的定义域、值域与图象中所示的定义域（图形正对着 x轴上的所 有实数）、值域（图形正对 y轴上的所有实数）是否一致. 6. 函数的定义域 函数的定义域是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使解析式 有意义的或使实际问题有意义的 x的取值范围. 求函数定义域的一般法则： （1）若 )(xf 为整式，则其定义域为实数集R； （2）若 )(xf 为分式，则其定义域是使分母不为 0的实数的集合； （3）若 )(xf 为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于 0的实数的集合； （4）若 )(xf 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的 实数的集合，即交集； 2 （5） 0)( xxf  的定义域是 }0|{ xx ； （6）由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束. 7.抽象函数的定义域【拓展】 （1）函数 )(xf 的定义域是指 x的取值范围； （2）函数 ))(( xgf 的定义域是指 x的取值范围，而不是 )(xg 的取值范围； （3）已知 ))(( xgf 的定义域为 B，求 )(xf 的定义域，其实质是已知 ))(( xgf 中 x的取值 范围为 B，求出 )(xg 的范围（值域），此范围就是 )(xf 的定义域. 8.判断两个函数是否为相同函数：函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定 义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言 的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量 的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)． 二、典型例题 例 1.下列式子能否确定 y是 x的函数？ （1） 422  yx ； （2） 111  yx ； （3） xxy  12 变式.判断下列对应是否为集合 A到集合 B的函数. 1 ||:},0|{, xyxfxxBRA  2 2:,, xyxfZBZA  3 xyxfZBZA  :,, 4 0:},0{},11|{  yxfBxxA 例 2.下列图象中，表示函数关系 y＝f（x）的是（ ） A． B． C． D． 例 3.求下列函数的定义域，结果能用区间的用区间表示. 3 （1） 6 12 2   xx xy ； （2） xx xy    || )1( 0 ； （3） 9 155 2   x xxy . 例 4.已知函数 3 2 34 1    axax axy 的定义域为 R，求实数 a的取值范围. 例 5.若函数 f（x）＝ 的定义域为 R，则实数 a的取值范围是 ． 例 6.已知函数 的定义域为 R，则 a的取值范围是 ． 例 7.已知四组函数： （1） 2)(,)( xxgxxf  ； （2） 3 3)(,)( xxgxxf  ； （3） )(12)(),(12)( NnnngNnnnf  ； （4） tttgxxxf 2)(,2)( 22  其中表示同一函数的是________________. 变式.下列各组式子是否为同一函数？为什么？ （1） 2)(|,|)( ttgxxf  ； （2） 22 )(, xyxy  ； 4 （3） 21,11 xyxxy  ； （4） 3,)3( 2  xyxy 例 8.高为 h，底面半径为 R的圆柱形容器内，以单位时间内体积为 a的速度灌水.试求