第11讲 对数-《知识提炼 能力训练》2023年新高一数学暑假衔接作业课程

1 第十一讲 对数 一、知识梳理 (1)对数的定义： 如果 ax＝N(a>0且 a≠1)，那么数 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x＝logaN，其中 a叫做对 数的底数，N叫做真数．当 a＝10时叫常用对数．记作 x＝lg_N，当 a＝e时叫自然对数，记 作 x＝ln_N. (2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于 0且不等于 1)： ①loga1＝0 .②logaa＝1. ③对数恒等式：alogaN＝N. ④换底公式：logab＝ logcb logca . 推广 logab＝ 1 logba ，logab·logbc·logcd＝logad. (3)对数的运算法则： 如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： ①log a(M·N)＝logaM＋logaN；②loga M N ＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝ n m logaM. 二、典型例题 1．指数式与对数式的互化 例 1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝ 1 9 ； (2) 1 4       －2＝16； (3)log 1 3 27＝－3; (4)log x 64＝－6. 变式：将下列指数式与对数式互化： (1)log216＝4; (2)log 3 x＝6； (3)4 3＝64; (4)3－3＝ 1 27 . 指数式与对数式互化的方法 2 (1)指数式化为对数式： 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式： 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 2．对数的计算 例 2、求下列各式中的 x的值： (1)log64x＝－ 2 3 ； (2)logx8＝6； (3)lg 100＝x； (4)－ln e2＝x. 变式：若 log5x＝2，logy8＝3，则 x＋y＝________. 利用指数式与对数式的互化求变量值的策略 (1)已知底数与指数，用指数式求幂． (2)已知指数与幂，用指数式求底数． (3)已知底数与幂，利用对数式表示指数． 3．对数的性质 例 3、求下列各式中 x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)log3(log4(log5x))＝0. 变式：若 6log6(5x＋1)＝36.则 x＝________. 利用对数性质求解的 2类问题的解法 (1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求 loga(logbc)的值，先求 logbc的值，再求 loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 4．对数式的运算 例 4、求下列各式的值： (1)log2(47×25)； (2)lg 5 100； (3)lg 14－2lg7 3 ＋lg 7－lg 18； (4)lg 52＋2 3 lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 3 变式:已知 ab>0，有下列四个等式： ①   baab lglglg  ；② ba b a lglglg       ；③            b a b a lglg 2 1 2 ；④   10log 1lg ab ab  . 其中正确的是________(填序号)． 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则： 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的 实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 5．对数换底公式的应用 例 5、计算： (1)log29·log34； (2) log5 2×log79 log5 1 3 ×log7 3 4 . 变式：log23×log34×log45×log52＝________. 6．对数的综合应用 例 6、已知 log189＝a,18b＝5，求 log3645.(用 a，b表示) 1．若本例条件不变，如何求 log1845(用 a，b表示)? 2．若将本例条件“log189＝a,18b＝5”改为“log94＝a,9b＝5”，则又如何求解呢？ 4 变式：已知 x，y，z都是大于 1的正数，m>0，且 logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，求 logzm的值． 求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点 (1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式． (2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法． (3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题