第10讲 指数-《知识提炼 能力训练》2023年新高一数学暑假衔接作业课程

1 第十讲 指数 一、知识梳理 1、n次方根 定义 一般地，如果 xn＝a，那么 x叫做 a的 n次方根，其中 n>1，且 n∈N* 性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为 n a a<0 x<0 n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为± n a a<0 x在实数范围内不存在 2、根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 a＝xn，那么 x叫做 a的 n次实数方根 n>1且 n∈N* 当 n为奇数时，正数的 n次实数方根是一个正数， 负数的 n次实数方根是一个负数 n a 0的 n次实数方根是 0 当 n为偶数时，正数的 n次实数方根有两个，它 们互为相反数 ± n a 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① n an＝ an为奇数， |a|＝ aa≥0， －aa<0 (n为偶数)； ②( n a)n＝a(注意 a必须使 n a有意义)． 3、有理指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是 m na ＝ n am(a>0，m，n∈N*，n>1)； ②正数的负分数指数幂是 m na - ＝ 1 m na ＝ 1 n am (a>0，m，n∈N*，n>1)； ③0的正分数指数幂是 0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 2 ①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)． 二、典型例题 例 1、 (1)16的平方根为________，－27的 5次方根为________． (2)已知 x7＝6，则 x＝________. (3)若 4 2x  有意义，则实数 x的取值范围是________． 变式：已知 m10＝2，则 m等于( ) A. 10 2 B．－ 10 2 C. 102 D．± 10 2 判断关于 n次方根的结论应关注两点 (1)n的奇偶性决定了 n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着 n次方根的符号． 例 2、化简与求值： (1) 33 ( 5) ； (2) 24 ( 9) ； (3) 6 24 4 1a a  1 2 a     ； (4) 2 2 552 ( )x xy y y x    变式：计算 33 ( 3) ＋4 124 ( 2) ＝________. 根式化简的思想和注意点 (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差) 公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的． (2)化简根式时需注意： 在根式计算中，含有 n a (n为正偶数)的形式中要求 a≥0，而 n na 中 a可以是任何实数． 例 3、化简 2 22 1 6 9x x x x     (－3<x<3)． 3 变式：若 n<m<0，则 2 22m mn n  － 2 22m mn n  等于( ) A．2m B．2n C．－2m D．－2n 1.有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行 化简． 2.有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑 被开方数或被开方的表达式的正负． 例 4、用根式或分数指数幂表示下列各式：a 1 5 ，a 3 4 (a>0)， 3 a6， 1 a3 (a>0), a a(a>0)． 变式：1．用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)： (1)x 2 3 ＝________；(2)x  3 5 ＝________；(3)x  1 2 y 4 7 ＝________. 2．用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： (1) 1 3 a2 ； (2)a3· 3 a2； (3) 3 b －a2 . 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算 性质解题． 例 5、计算下列各式： 4 (1) 5.0 2 1 2 0 01.0 4 122 5 32              ； (2)    75.0343 0 3 1 162 8 7064.0         ； (3)     0,01.0 4 2 1 4 1 332 3 1 2 1          ba ba ab ． 变式：1．计算： (1)      232510002.0 8 33 1 2 13 2       