第09讲 从函数看一元二次不等式-《知识提炼 能力训练》2023年新高一数学暑假衔接作业课程

1 第九讲 从函数看一元二次不等式 一、知识梳理 1.形如 2 0( 0) ( 0)ax bx c a    或 其中 的不等式称为关于 x的一元二次不等式． 2．一元二次不等式 2 0( 0)ax bx c   或 与二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    及一元 二次方程 2 0ax bx c   的关系(简称：三个二次)． 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象． ①如果图象与 x轴有两个交点 1 2( ,0), ( ,0)x x ，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实 数根 1 2,x x (也可由根的判别式 0  来判断) ． 那么(图 1)： 2 1 20 ( 0) ax bx c a x x x x      或 2 1 20 ( 0) ax bx c a x x x       ②如果图象与 x轴只有一个交点 ( ,0) 2 b a  ，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 2 2x bx x a    (也可由根的判别式 0  来判断) ． 那么(图 2)： 2 0 ( 0) 2 bax bx c a x a        2 0 ( 0) ax bx c a     无解 ③如果图象与 x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式 0  来判断) ． 2 那么(图 3)： 2 0 ( 0) ax bx c a x     取一切实数 2 0 ( 0) ax bx c a     无解 0 0 0 二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图 像 一元二次方程  002  acbxax 的根 2 0( 0)ax bx c a    解集  002  acbxax 解集 3.含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为 ax b 的形式： （1）当 0a  时，不等式的解为： bx a  ； （2）当 0a  时，不等式的解为： bx a  ； （3）当 0a  时，不等式化为：0 x b  ； ① 若 0b  ，则不等式的解是全体实数； ② 若 0b  ，则不等式无解． 4.恒成立结论 (1) 2 ( 0)0ax bx c a ＋ ＋ 恒成立的条件是： 20 4 0a b ac 且 － ． (2) 2 ( 0)0ax bx c a ＋ ＋ 恒成立的条件是： 20 4 0a b ac 且 － ． 5.区间的概念 设 a，b 是实数，且 a＜b，满足 a≤x≤b 的实数 x 的全体，叫做闭区间，记作 [a，b]，即， [ , ] { | }a b x a x b   。a，b 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端 点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 3 全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”， 即 ( , )R    。 二、典型例题 例 1.解下列不等式： （1）x2＋2x－3≤0； （2）x－x2＋6＜0； （3）4x2＋4x＋1≥0； （4）x2－6x＋9≤0； （5）－4＋x－x2＜0． 例 2.解关于 x的一元二次不等式 2 1 0(x ax a   为实数). 例 3.已知关于 x的不等式 2 0mx x m   的解是一切实数，求m的取值范围 4 例 4.已知关于 x的不等式 2 2( 1) 3 0kx k x    的解为 31  x ，求 k 的值． 例 5.已知不等式 2 0( 0)ax bx c a    的解是 2, 3x x 或 ，求不等式 2 0bx ax c   的解． 例 6.求关于 x的不等式 2 2 2m x mx m   的解． 例 7.解关于 x 的不等式 x2－(1＋a)x＋a＜0（a 为常数）． 例 8.关于 x的不等式 ax－b＞0 的解集是(1，＋∞)，则关于 x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0 的解 集是( ) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1，3) C．(－1，3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 例 9.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对一切 x恒成立，则实数 a的取值范围是__________. 5 三、课堂训练 1．解下列不等式 （1）3x2－2x＋1＜0； （2）3x2－4＜