第08讲 基本不等式-《知识提炼 能力训练》2023年新高一数学暑假衔接作业课程

1 第八讲 基本不等式 一、知识梳理 1．基本不等式： ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)b a ＋ a b ≥2(a，b同号)． (3)ab≤ a＋b 2 2 (a，b∈R)． (4)a 2＋b2 2 ≥ a＋b 2 2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为 a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b的算术平均数为a＋b 2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy是定值 p，那么当且仅当 x＝y时，x＋y有最小值 2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y是定值 p，那么当且仅当 x＝y时，xy有最大值p 2 4 .(简记：和定积最大) 二、典型例题 直接型 例 1（1）（若 10 3 x  ，则  1 3x x 取最大值时 x的值是 。 （2）已知正数 a、b满足 2 3 6a b  ，则 ab的最大值为 。 配凑型 例 2（1）函数 13 1 y x x    ( 1)x  的最小值是（ ） A．4 B． 2 3 3 C． 2 3 D．2 3 3 2 （2）函数 2 3 3 ( 1) 1 x xy x x       的最大值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．-1 （3）若 a、b、c>0且 a(a＋b＋c)＋bc＝4－2 3，则 2a＋b＋c的最小值为 。 常数代换型 例 3（1）已知 0a  ， 0b  ， 1a b  ，则 1 1 a b  的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 （2）若 0a  ， 0b  ，且 ab a b  ，则 4 9a b 的最小值为（ ） A．25 B．5 C．26 D．13 （3）已知正实数 x， y满足 4 3 2x y  ，则 1 1 2 1 3 2x y    的最小值为（ ） A． 1 2 2  B． 1 2 3 3  C． 1 2 2 3  D． 1 2 2 2  消元型 例 4（1）设 0a  ， 0b  ，且 25 1ab b  ，则 a b的最小值为___________. （2）若正数 ,a b满足 2a b ab   ，则 3 7 1 1a b    的最小值是________． 例 5 已知 2x  ，函数 4 2 y x x    的最小值是（ ） A．5 B．4 C．8 D．6 例 6 函数 22 4 5( ) ( 1) 1 x xf x x x      的最小值是__________. 例 7 已知 0a  ， 0b  ，若不等式 1 2 2 m a b a b    恒成立，则实数m的最大值为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 例 8 已知不等式   1 9ax y x y        ≥ 对任意正实数 x，y恒成立，则正实数 a的最小值为 （ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3 例 9 若正实数 a，b满足 3 2 b a ab，则 2 a b ab 的最大值为______． 例 10 已知某工厂每天固定成本是 4万元，每生产一件产品成本增加 100元，工厂每件产品 的出厂价定为 a元时，生产 x件产品的销售收入是 21( ) 500 4 R x x x   （元）， ( )P x 为每 天生产 x件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件 a元进货后又 以每件b元销售，（1）每天生产量 x为多少时，平均利润 ( )P x 取得最大值？并求 ( )P x 的最 大值； 三、课堂训练 1．      3 6 6 3a a a     的最大值为 。 2．若 x，y∈R，2x+2y=1，则 x+y的取值范围是 3．已知 1x   ，求函数 1  1 y x x    的最小值是 。 4.已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x的值为________． 5．若 x ≥ 7 2 ，则 2 6 10( ) 3 x xf x x     有（ ） A．最大值 5 2 B．最小值 5 2 C．最大值 2 D．最小值 2 6已知 0a b  ，则 4 12a a b a b     的最小值为（ ） A． 44 4 B．6 C． 3 2 2 83 a a b   D．3 2 4 7.