第06讲 逻辑用语（3）-《知识提炼 能力训练》2023年新高一数学暑假衔接作业课程

1 第六讲 逻辑用语（3） 一、知识梳理 1.全称量词和全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等. (3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个 x， 有 p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x). 2.存在量词与存在量词命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等. (3)存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素 x， 使 p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x). 3.命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 4.全称量词命题的否定 命题的否定：改变量词，否定结论 全称量词命题 p：∀x∈M，p(x)， 它的否定 p ：∃x∈M， p (x). 全称量词命题的否定是存在量词命题. 5.存在量词命题的否定 存在量词命题 p：∃x∈M，p(x)， 它的否定 p ：∀x∈M， p (x). 存在量词命题的否定是全称量词命题. 4.常见正面词语的否定举例如下： 正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有 n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有 n＋1个 二、典型例题 例 1．下列命题中 （1）有些自然数是偶数； （2）正方形是菱形； 2 （3）能被 6整除的数也能被 3整除； （4）对于任意 x R ，总有 2 1 1 1x  „ ． 存在量词命题的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 例 2．下列命题为真命题的是 ( ) A． 0x R  ，使 2 0 0x  B． x R  ，有 2 0x … C． x R  ，有 2 0x  D． x R  ，有 2 0x  例 3．已知命题“ x R  ，使 2 14 ( 2) 0 4 x a x    ”是真命题，则实数 a的取值范围是 ( ) A． ( ,0) B． [0， 4] C． [4， ) D． (0,4) 例 4．全称命题： x R  ， 2 5 4x x  的否定是 ( ) A． x R  ， 2 5 4x x  B． x R  ， 2 5 4x x  C． x R  ， 2 5 4x x  D．以上都不正确 例 5．设命题 0: (0, )p x   ， 0 3 03 x x ，则命题 p的否定为 ( ) A． (0, )x   ， 33x x B． (0, )x   ， 33x x C． (0, )x   ， 33x x… D． (0, )x   ， 33x x… 例 6．已知命题 :p x R  ，使 a�2 + 2x + a ≥ 0，当 a A 时， p为假命题，求集合． 三、课堂训练 1．下列命题是全称量词命题的是 ( ) A．有一个偶数是素数 B．至少存在一个奇数能被 15整除 C．有些三角形是直角三角形 D．每个四边形的内角和都是 360 2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 ( ) A． x R  ， 2 2 1 0x x   B．所有菱形的 4条边都相等 3 C．若 2x为偶数，则 x N D． 是无理数 3．已知对∀x ∈ {x|1 ≤ x < 3}，都有m x ，则m的取值范围为 ( ) A．m ≥ 3 B． 3m  C． 1m  D．m ≤ 1 4．下列命题含有全称量词的是 ( ) A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数 C．方程 2 2 5 0x x   有实数解 D．素数中只有一个偶数 5．有下列四个命题：① x R  ， 2 1 0x   ；② x N  ， 2 0x  ；③ x N  ， [ 3x  ， 1) ； ④ x Q  ， 2 2x  ．其中真命题的个数为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．全称命题： x R  ， 2 5 4x x  的否定是 ( ) A． x R  ， 2 5 4x x  B． x R  ， 2 5 4x x  C． x R  ， 2 5 4x x  D．以上都不正确 7．给出下列命题： ①存在实数 x0>1，使 x20>1；②全等的三角形必相似