第04讲 逻辑用语（1）-《知识提炼 能力训练》2023年新高一数学暑假衔接作业课程

1 第四讲 逻辑用语（1） 一、 知识梳理 1.命题的概念: 在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句 叫作命题. 2.命题定义中的两个要点:“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题. 3.分类：（1）真命题:判断为真的语句 （2）假命题:判断为假的语句 4.命题的结构： (1)命题的一般形式为“若 p,则 q”其中 p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若 p，则 q”的形式. 5.充分条件与必要条件 区分概念中充分条件与必要条件的推出符号的箭头方向 (1)一般地，“若 p，则 q”为真命题，是指由 p通过推理可以得出 q.这时，我们就说，由 p可 以推出 q，记作 p⇒q，并且说 p是 q的充分条件，q是 p的必要条件. (2)如果“若 p，则 q”为假命题，那么由条件 p不能推出结论 q，记作 p q，此时，我们就说 p不是 q的充分条件，q不是 p的必要条件. 6.判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系 (1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. (2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 7.充要条件 理解概念时要联系充分条件与必要条件的概念 如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q.0 此时，p既是 q的充分条件，也是 q的必要条件，我们说 p是 q的充分必要条件，简称为充 要条件，显然，如果 p是 q的充要条件，那么 q也是 p的充要条件. 二、典型例题 例 1．下列语句不是命题的是 ( ) A． 3 4  B．0.3是整数 C． 3a  D．4是 3的约数 例 2．设 a，b， c R ，则下列命题是真命题的是 ( ) A．若 2 2a b ，则 a b B．若 1 1 a b  ，则 a b C．若 a c ，b≤c，则 a≤b D．若 a+c≥b+c，则 a≥b 例 3．将下列命题改写成：“若 p，则 q ”的形式，并判断其真假． （1）正 n边形 ( 3)n… 的 n个内角全相等； 2 （2）负数的立方是负数； （3）已知 x， y为正整数，当 5y x  时， 3y   ， 2x  例 4．“ 2 2 0x x   ”是“ 1x  ”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例 5. 下列各题中，试分别指出 p是 q的什么条件． (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a＞b，q：ac＞bc. 例 6 求 ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？ 例 7 求证：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是 ac＜0. 三、课堂训练 1．下列命题的是真命题的是 ( ) A．若 a b ，则 1 1 a b  B．若 x y ，m n ，则 x n y m   C．若 x y ，m n ，则 xm yn D．若 2 2ac bc ，则 a b 3 2．命题“对顶角相等”改写成“若 p，则 q ”的形式是 ． 3．把下列命题改写成“若 p，则 q ”的形式，并判断命题的真假． （1）能被 6整除的数一定是偶数； （2）当 1 | 2 | 0a b    时， 1a  ， 2b   ； （3）已知 x， y为正整数，当 2y x 时， 1y  ， 1x  ； （4）与同一直线平行的两个平面平行． 4．已知 a R ，则“ 1a ”是“ 2a ”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知实数 0a  ，则“ 1a  ”是“ 1 1 a  ”的 ( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 6．设 a R ，则“ 2a ”是“ 0232  aa ”的 ( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．设 x R ，则“1 2x  ”是“ 2 4x  ”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．“ 2 1 4x   ”是“ 5x  ”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9． ( 3)( 2) 0x x   的一个充分不必要条件是 ( ) A． 4