第25讲 解三角形（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第25讲 解三角形（精讲） 题型目录一览 ①正弦、余弦定理的应用 ②解三角形面积问题 ③判断三角形形状 ④解三角形与三角函数综合 ⑤解三角形的实际应用 一、知识点梳理 一、正余弦定理和面积公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 二、公式的相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① ②； ③在中，内角成等差数列. 三、解三角形的实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 【常用结论】 1.解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2.（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边” （2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 二、题型分类精讲 题型一 正弦、余弦定理的应用 策略方法 正余弦定理解三角形 (1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c． (2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C． (3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C． (4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况． 【典例1】（单选题）的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【典例2】（单选题）在中，角、、的对边分别为、、．若，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（单选题）在中，若，，则（    ） A． B． C． D． 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则最大角和最小角之和为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）设△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a=b，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A＝（    ） A． B． C． D． 5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（    ） A．4 B．6 C． D． 6．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且满足，若，则外接圆的半径长为（    ） A． B．1 C． D． 8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（    ） A． B． C．8 D．4 二、多选题 9．（2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使的形状唯一确定的有（    ） A． B． C． D． 10．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，下列命题中，正确的是（    ） A．在中，若，则 B．在中，若，，则 C．在中，若，则 D．在中， 三、填空题 11．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）在中，角A，B，C所