2 6.4.3 第1课时 余弦定理 课后达标检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦余弦定理及其推论的应用，通过课后达标检测、例题讲解等模块，从已知三边求余弦值、已知两边及夹角求第三边等基础问题入手，衔接三角形基本性质，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于分层设计题目，从基础计算到能力提升再到素养拓展，如通过黄金三角形实例培养数学眼光，借助推理判断三角形形状发展数学思维，用符号运算和模型应用强化数学语言。学生能提升解题与应用能力，教师可利用分层资源优化教学。

6．4.3　第1课时　课后达标检测 1 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 课后达标检测 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 1 2 课后达标检测 √ 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 3 课后达标检测 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝60°，c2＝ab，则△ABC的形状是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 √ 3 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 4 课后达标检测 √ 3 4 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 5 课后达标检测 3 4 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 5 课后达标检测 6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是(　　) A．若B>C，则b>c B．sin (A＋C)＝sin B C．若b2＋c2>a2，则△ABC是锐角三角形 D．若b2＋c2<a2，则△ABC是钝角三角形 √ 3 4 5 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 6 √ √ 课后达标检测 解析：对于A，在△ABC中，B>C，则b>c，A正确； 对于B，sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，B正确； 3 4 5 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 6 课后达标检测 7．已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一 个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是______________． 3 4 5 6 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 7 课后达标检测 3 4 5 6 7 9 10 2 12 13 14 15 11 1 8 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 10 2 12 13 14 15 11 1 9 1 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 2 12 13 14 15 11 1 10 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 2 12 13 14 15 11 1 10 课后达标检测 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 1 11 课后达标检测 12．若钝角三角形的三边长分别为a＋1，a＋2，a＋3，则a的取值范围是________． 3 4 5 6 7 8 9 10 2 13 14 15 11 1 12 (0，2) 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 13 14 15 11 1 12 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 14 15 11 1 13 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 14 15 11 1 13 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 15 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 15 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 15 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 15 课后达标检测 解析：在△ABC中，已知a＝ eq \r(13)，b＝4，c＝3，由余弦定理的推论， 得cos A＝ eq \f(42＋32－13,2×4×3)＝ eq \f(16＋9－13,24)＝ eq \f(1,2). 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ eq \r(13)，b＝4，c＝3，则cos A＝(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(\r(3),2) D．－ eq \f(\r(2),2) 解析：因为在△ABC中，ac＝8，a＋c＝7，B＝ eq \f(π,3)，所以由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－2ac× eq \f(1,2)＝49－16－8＝25，所以b＝5. 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ac＝8，a＋c＝7，B＝ eq \f(π,3)，则b＝(　　) A．6 B．5 C．4 D． eq \r(5) 解析：在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝49，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5b＝8c，,b2＋c2－bc＝49，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝8，,c＝5))(b，c均大于0)，所以a＋b＋c＝20. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝7，A＝ eq \f(π,3)，5b＝8c，则△ABC的周长为(　　) A．12 B．20 C．16 D．17 解析：由余弦定理的推论知cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，因为c2＝ab，C＝60°，所以cos 60°＝ eq \f(a2＋b2－ab,2ab)＝ eq \f(1,2)，所以(a－b)2＝0，所以b＝a，因此B＝A，所以B＝A＝C＝60°，即△ABC是等边三角形． 5．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，D是BC的中点，则AD＝(　　) A． eq \f(\r(5),2) B． eq \r(5) C． eq \f(\r(10),2) D． eq \r(10) 解析：由题意知，BD＝ eq \f(1,2)BC＝2，在△ABC中，由余弦定理的推论得cos B＝ eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝ eq \f(32＋42－22,2×3×4)＝ eq \f(7,8)，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B＝32＋22－2×3×2× eq \f(7,8)＝ eq \f(5,2)，由AD>0，得AD＝ eq \f(\r(10),2). 对于D，由b2＋c2<a2，得cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)<0，则A是钝角，△ABC是钝角三角形，D正确． 对于C，由b2＋c2>a2，得cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)>0，则A是锐角，但B，C是否都是锐角无法确定，C错误； eq \f(7,8)或 eq \f(43,48) 解析：根据三角形的性质，只能用长度分别为2，3，4或3，4，6的3根细钢丝围成三角形，则该三角形最小内角的余弦值为 eq \f(16＋9－4,2×3×4)＝ eq \f(7,8)或 eq \f(16＋36－9,2×4×6)＝ eq \f(43,48). 解析：由余弦定理的推论cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)可得 eq \f(2,3)＝ eq \f(9＋16－c2,2×3×4)，解得c＝3，所以cos B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝ eq \f(9＋9－16,2×3×3)＝ eq \f(1,9). eq \f(1,9) 8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝ eq \f(2,3)，a＝3，b＝4，则cos B＝________． 解析：因为2b cos C＝a(2－c)，两边同时乘以a得2ab cos C＝a2(2－c)，由余弦定理可得a2＋b2－c2＝2ab cos C，则a2＋b2－c2＝a2(2－c)，所以有a2＋c2－b2＝a2c，又a2＋c2－b2＝2ac cos B，所以a2c＝2ac cos B，故a＝2cos B，又因为B＝ eq \f(π,3)，所以a＝1. 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos C＝a(2－c)，且B＝ eq \f(π,3)，则a＝________． 解：由a2＋c2＝b2＋ eq \r(2)ac， 得a2＋c2－b2＝ eq \r(2)ac， 故cos B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝ eq \f(\r(2)ac,2ac)＝ eq \f(\r(2),2)， 因为B∈(0，π)，所以B＝ eq \f(π,4). 10．(13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋c2＝b2＋ eq \r(2)ac. (1)求B；(6分) 解：设a＝t，c＝2 eq \r(2)t，代入a2＋c2＝b2＋ eq \r(2)ac， 得t2＋8t2＝b2＋ eq \r(2)t·2 eq \r(2)t， 故b2＝5t2，解得b＝ eq \r(5)t， 由余弦定理的推论得cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(t2＋5t2－8t2,2t·\r(5)t)＝－ eq \f(\r(5),5). (2)若c＝2 eq \r(2)a，求cos C．(7分) 解析：由p⊥q可得p·q＝0，即(a＋c，c＋b)·(c－a，b)＝c2－a2＋bc＋b2＝0，所以c2＋b2－a2＝－bc，因此cos A＝ eq \f(c2＋b2－a2,2bc)＝ eq \f(－bc,2bc)＝－ eq \f(1,2)，又A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(2π,3). 11．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，c＋b)，q＝(c－a，b).若p⊥q，则角A的大小为(　　) A． eq \f(2π,3) B． eq \f(π,2) C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,6) 解析：因为a＋1<a＋2<a＋3，所以此三角形的最大边为a＋3， 设此边所对应的角为α，则α为钝角， 由余弦定理的推论可得 cos α＝ eq \f((a＋1)2＋(a＋2)2－(a＋3)2,2(a＋1)(a＋2))<0， 即有(a＋1)2＋(a＋2)2－(a＋3)2<0，整理得a2－4<0，解得－2<a<2， 又因为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,a＋1＋a＋2>a＋3，))即a>0， 所以a的取值范围为(0，2). eq \f(\r(5)＋1,4) 13．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．其中顶角为36°的等腰三角形的底与腰的长度之比为 eq \f(\r(5)－1,2)，这种黄金三角形被认为是最美的三角形．根据上述信息，可得cos 36°＝________． 解析：在△ABC中，A＝36°，AB＝AC， eq \f(BC,AB)＝ eq \f(\r(5)－1,2).设AB＝2x，BC＝( eq \r(5)－1)x，则cos 36°＝ eq \f((2x)2＋(2x)2－[(\r(5)－1)x]2,2·2x·2x)＝ eq \f(4x2＋4x2－(6－2\r(5))x2,8x2)＝ eq \f(\r(5)＋1,4). 14．(13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2( eq \f(π,2)－A)＋ eq \f(6,5)cosA－ eq \f(34,25)＝0. (1)求cos A；(6分) 解：由cos2( eq \f(π,2)－A)＋ eq \f(6,5)cosA－ eq \f(34,25)＝0， 可得sin 2A＋ eq \f(6,5)cos A－ eq \f(34,25)＝0， 即cos 2A－ eq \f(6,5)cos A＋ eq \f(9,25)＝0， 整理得(cos A－ eq \f(3,5))2＝0， 解得cos A＝ eq \f(3,5). 证明：由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－ eq \f(6,5)bc，因为c－a＝ eq \f(b,3)， 所以a＝c－ eq \f(b,3)， 代入上式可得c2－ eq \f(2,3)bc＋ eq \f(1,9)b2＝b2＋c2－ eq \f(6,5)bc，化简得c＝ eq \f(5,3)b.又a＝c－ eq \f(b,3)＝ eq \f(4b,3)，则c2＝a2＋b2， 故△ABC是直角三角形． (2)若c－a＝ eq \f(b,3)，证明：△ABC是直角三角形．(7分) 证明：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝36＋16－27＝25，所以AB＝5，又cos B＝ eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝ eq \f(25＋16－36,2×5×4)＝ eq \f(1,8)， 15．(15分)在△ABC中，BC＝4，AC＝6，cos C＝ eq \f(9,16). (1)求证：B＝2A；(7分) cos A＝ eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝ eq \f(25＋36－16,2×5×6)＝ eq \f(3,4)， 所以cos 2A＝2cos2A－1＝2×( eq \f(3,4))2－1＝ eq \f(1,8)， 所以cosB＝cos 2A， 由题意知0<A<B<π，所以0<A< eq \f(π,2)，0<2A<π，0<B<π，所以B＝2A. 解：因为 eq \o(AD,\s\up16(→))＝λ eq \o(AC,\s\up16(→))，BD＝ eq \r(14)<4，所以点D在AC上，即0<λ<1. 由(1)知cos A＝ eq \f(3,4)，设AD＝x，在△ABD中，由余弦定理知BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A， (2)若 eq \o(AD,\s\up16(→))＝λ eq \o(AC,\s\up16(→))，BD＝ eq \r(14)，求实数λ的值．(8分) 化简得2x2－15x＋22＝0，得x＝ eq \f(11,2)或x＝2. 当x＝2时，AD＝2，λ＝ eq \f(1,3)； 当x＝ eq \f(11,2)时，AD＝ eq \f(11,2)，λ＝ eq \f(11,12). 综上所述，λ＝ eq \f(1,3)或λ＝ eq \f(11,12). $