解三角形 专项训练-2027届高考数学一轮复习

解三角形专题 一、不解三角形判断三角形解的个数（判断、求角、边的范围） 1.（多选）在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】对于选项A，B使用三角形全等判定定理即可判断；对于选项C，利用正弦定理判断；对于D使用余弦定理计算即可判断. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则，因，结合正弦函数的图象可知角B有两解，一个是锐角，另一个是钝角，故C错误； 对于D，由余弦定理得，，故仅有一解，即D正确． 二、判断三角形的形状 2．在中，已知，则的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【分析】由正弦定理及两角差的正弦公式求解. 【详解】由可得， 所以， 即， 因为，所以， 所以，即， 所以的形状为等腰三角形. 3．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到或，得到三角形形状 【详解】，由正弦定理得， 故， 又， ， 所以， 所以， 即，所以或， 由得或（舍去）， 由得， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 4．在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】B 【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 即， 整理得， 角为直角，为直角三角形. 5．在中，，，则为（     ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】记单位向量，利用单位向量模长求出角，再利用正弦定理化简，利用向量数量积证明，进而判断三角形的形状． 【详解】记单位向量，则， ， 解得， ， ， 由正弦定理，则， ， 故，， 则， 故，即， 故是等腰三角形， 又， 故是等边三角形． 三、求边、角、面积、周长 6．在中，，，，则角B的大小为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据正弦定理求解，再结合三角形边角关系求解. 【详解】由正弦定理：，代入，，可得： ， 则或， 由，得， 故. 7．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式，及余弦定理即可求解． 【详解】由， 则， 所以， 在中，有， 故． 8．在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由及余弦定理，得， 则，所以的面积为. 9..在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式及两角和的正弦公式化简求解即可. （2）根据三角形面积公式及余弦定理求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，， 又，所以， 则， 化简得，， 在中，，所以， 又因为，所以. （2）由三角形面积公式得：，解得， 由余弦定理得，， 所以，又，所以. 10．已知中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将角的关系转化为边的关系后用余弦定理求角； （2）结合正弦定理求，再用余弦定理求进而得到周长. 【详解】（1）展开已知等式得， 整理得， 由正弦定理得， 代入余弦定理得， 因为，所以. （2）由正弦定理，代入得， 因此，结合已知得 . 再由余弦定理，代入得， 代入得. 因此的周长为. 11．的内角，，所对的边分别为，，，其面积为．已知． (1)求； (2)点满足，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面积公式与向量点积公式，代入已知条件化简，解得，结合得的大小； （2）用已知向量分解表示、，平方后利用得；再由余弦定理求出，代入即得结果. 【详解】（1）根据三角形面积公式，向量点积公式， 代入已知条件得， 约去得. 因为，故. （2）由于， 分别对和平方展开，代入得 ​； ​​. 由，得，代入化简得. 由余弦定理，，代入，得 . 因此. 四、求范围、最值问题 12.在中，若，，平分交于，则的最大值为______． 【答案】 【分析】利用数量积的定义可求，再利用面积关系和基本不等式可求的最大值. 【详解】设中所对的边为， 因为，且，故，故. 而， 所以， 故， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 13．在中，角，，所对的边分别为，，，，且. (1)求； (2)若的面积为，求，； (3)求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换化简即可以求出角的值； （2）利用三角形面积公式结合（1）中角的可以求得，，再使用余弦定理，，，联立方程求出; （3）方法一：由正弦定理，得，，把周长转化为三角函数求解周长的取值范围；方法二：因为，，由余弦定理，得，使用均值不等式求出周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得 , , 由于， ， 因为，所以， 因为，解得； （2）由（1）知，则，所以， 由余弦定理，，又， 则 ， 解得，所以； （3）（法一）因为，，由正弦定理， 得， 又因为，所以 所以 又因为，所以 所以 ，所以 即，所以 所以三角形的周长的取值范围. （法二）因为，，由余弦定理，得， 即，又，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，又因为，所以，所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 14．已知分别为三个内角的对边，且 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出角； （2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简，再由锐角三角形约束的范围，最后结合正弦函数的单调性即可得出的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得： ， 因为，所以，则， 即，， 因为，则，所以，即. （2）因为，，所以， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以． 15．已知锐角三个内角的对边分别是，若． (1)求的大小； (2)若平分交于点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及正弦定理边化角，结合差角的正弦化简，再利用正切函数性质求出范围. 【详解】（1）在锐角中，由及正弦定理， 得， 整理得，而，则， 因此，又，则，解得， 所以. （2）由（1）得，得，则， 由平分交于点及正弦定理， 得 . 16．中，，分别为内角的对边，． (1)求角的大小； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围； (3)若，，且的面积为，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，化简得到，进而得到，即可求解； （2）根据题意，由三角形的面积公式，求得，再由正弦定理得，求得，结合，求得，进而得到的面积的取值范围； （3）由的面积为，求得，再由，得到，根据正弦定理得，求得的长，在中，结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 即， 因为，可得， 所以， 即， 又因为，可得，所以，即， 又由，所以， 因为，所以，可得. （2）解：由（1）知：且， 所以的面积为， 又由正弦定理得， 可得， 因为为锐角三角形，可得，且， 所以，可得，可得， 所以，所以，即 所以的面积的取值范围为. （3）解：因为的面积为，可得，解得， 又因为，所以， 因为，可得. 由正弦定理得， 又因为，可得，则， 因为，可得， 在中，由余弦定理得， 即，所以. 三角形特征线问题（中线、角平分线、等比分点线） 17．已知在中，，． (1)求的大小； (2)若，求边上的中线长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，结合角的取值范围运算求解； （2）利用面积公式可得，结合余弦定理运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即， 又因为，则， 且，则，可得，所以. （2）由（1）可知，则， 因为，解得， 如图，设边上的中线为， 由余弦定理可得， 所以． 18．在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对式子进行整理可求得，即可求出答案； （2）利用余弦定理求出，根据即可求出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又，所以， 又，所以. （2）由及余弦定理得，即， 又因为，所以， 所以， 所以，即.    19．在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，，点为边上靠近点的三等分点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简求解； （2）由题意可得，根据向量数量积运算律计算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，， 即，， 又因为， 所以，且， 所以，因为，所以. （2）因为点为边上靠近点的三等分点， 所以， ， ， 所以，即的长为. 平面图形中的计算 20．在中，已知于，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形的正切定义由表示出和，结合列方程求解即可. 【详解】由可知均为直角三角形. 在中，，根据正切的定义， 可得； 在中，，同理可得. 将代入， 得，解得. 21．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先在中利用余弦定理求解的长度，再结合垂直关系得到中的已知角，最后利用正弦定理求解的长度即可. 【详解】在中，， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 22.（多选）在中，D在线段AB上，且，，若，，则（   ） A． B．的面积为8 C．的周长为 D．为钝角三角形 【答案】BCD 【分析】在中用余弦定理求出BC长及，再在中用余弦定理求出AC长，然后对各选项逐一分析计算并判断作答. 【详解】如图，在中，因，由余弦定理得， 则有，即，而，解得，， 在中由余弦定理得，故，故A错误； 在中由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， ，的面积，B正确； 的周长为，C正确； 显然AB是最大边，，角为钝角，为钝角三角形，D正确； 23．如图，在平面四边形中，，. (1)若，，求的值； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求出的长，然后利用正弦定理可求得的值； （2）利用余弦定理结合可求出的长，即可得出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 所以， 在中，，，， 所以由正弦定理得，得， ，得. （2）在中，， 由余弦定理得， 在中，，， 则余弦定理得， 因为，所以，解得， 所以， 因为，所以， 所以的面积. 24．如图，在平面四边形中，，． (1)若，，，求的大小； (2)若，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理求解即可. （2）根据，得到，结合诱导公式得到，在中，得到，在中，根据余弦定理列方程求解即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以，，所以， 故. （2）设，则， 因为，所以，则. 在中，，即. 在中，由余弦定理得， 即，整理得，解得或（舍去）. 当时，，，，能构成三角形，满足条件. 故. 25．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求B； (2)若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式可求得的值，则角B可求； （2）结合直角三角形性质和正弦定理求出，列方程求得，再由两角和的正弦公式得，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以 ， 由正弦定理可得， 所以，所以， 又，则，所以， 则，，所以． （2）由（1）知，，，在中，由正弦定理得，， 所以. 又，，，所以， 故，即. 又，所以，所以. 又， 所以的面积为. 解三角形的实际应用（求长度、角度、高度） 26．数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 所以. 27．一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度（     ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】设该楼阁的高度米，根据题意得，，，，再结合，根据余弦定理求得即可得答案. 【详解】设该楼阁的高度米， 根据题意，，， 所以，，， 因为， 所以， 因为， ， 所以，即， 整理得，解得米，即该楼阁的高度米.    28．如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 【答案】B 【分析】由题意km，根据方位角关系可得，利用余弦定理建立关于的方程求解即可. 【详解】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此， 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值， ， 化简得：，解得或， 依题意开始受到侵袭的时间，取较小值. 三角形四心问题、奔驰定理 29．在中，是边上一点，且平分，若是的外心，且，则边的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】结合平面向量的数量积，三角形的角平分线定理，三角形的外心求解． 【详解】因为是的角平分线，所以， 设边上的高为，则， 所以，令 ， 得， 过点作，垂足分别为， 由外心性质得分别为的中点，所以 ， 即，解得或， 又，所以，即 ． 30．在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（    ） A．点G为的重心，若，则 B．若满足，，的有两解，则t的取值范围为 C．若则是的外心 D．若点O为内一点，且，则 【答案】C 【分析】根据重心的性质用表示，可得，从而求得判断A；根据余弦定理及二次方程有两根，求得的范围，判断B；由向量的数量积的运算及外心的定义判断C；延长交于点，由向量的线性运算法则及向量共线定理，可得，从而求得面积比，判断D. 【详解】选项A：点为的重心，设中点为，则=， 故，即，， 所以，A正确； 选项B：首先，且必有两种可能的取值， 由余弦定理，得， 故关于的方程必有两个不同的正数解， 所以，解得. 另一方面当时，，所以，所以，且， 所以可能是锐角，也可能是钝角，所以确有两解. 所以的取值范围是，B正确； 选项C：若， 则， 所以，所以点在边的高上，所以不一定是的外心，所以C错误； 选项D：若点为内一点，且，延长交于点， 故存在实数，使得，由于在直线上，故，从而， 即，所以，故，D正确. 31.（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若O为的外心，且，则 B．若O为的内心，，则 C．若O为的重心，，则角 D．若O为的外心，且O到a，b，c三边距离分别为则 【答案】AB 【分析】根据三角形四心的相关性质和正弦定理、余弦定理等相关知识逐项检验即可求解. 【详解】对于A，设外接圆半径为，因为， 所以，则， 也即，所以，则，故选项A正确； 对于B，取的中点，连接，作，垂足为， 因为，所以为的角平分线，所以， 又，，所以，则； 因为的周长，面积， 所以内切圆半径，所以， 又，所以， 因为，所以， 则，，所以，故选项B正确； 对于C，因为点为的重心，所以， 又因为，令，则， 在中，由余弦定理可得，， 因为，则，故选项C错误； 对于D，设外接圆半径为， 因为，， 所以，从而得到， 同理可得， 所以，故选项D错误. 32.（多选）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则. 【答案】ACD 【分析】根据垂心的性质及向量的线性运算判断A，根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断B，根据外心特征计算判断C，根据内心的性质即可得解判断D. 【详解】因为为的垂心，所以，故， 所以，故A正确； 延长交于中点，如图，    因为点O是的重心，， 所以，故B错误； 如下图所示：    若为的外心，取线段的中点，连接，由垂径定理知， 所以，故C正确； 如图，    若为的内心，则，过作， 由余弦定理得，所以， 内切圆半径为，所以， 所以，而，所以， 所以，故D正确. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形专题 一、不解三角形判断三角形解的个数（判断、求角、边的范围） 1.（多选）在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、判断三角形的形状 2．在中，已知，则的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 4．在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 5．在中，，，则为（     ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 三、求边、角、面积、周长 6．在中，，，，则角B的大小为（     ） A． B．或 C． D．或 7．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 8．在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（） A．1 B． C． D． 9.在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的值. 10．已知中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角的大小；(2)若，，求的周长 11．的内角，，所对的边分别为，，，其面积为．已知． (1)求；(2)点满足，且，求． 四、求范围、最值问题 12.在中，若，，平分交于，则的最大值为____． 13．在中，角，，所对的边分别为，，，，且. (1)求；(2)若的面积为，求，；(3)求周长的取值范围. 14．已知分别为三个内角的对边，且 (1)求角；(2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 15．已知锐角三个内角的对边分别是，若． (1)求的大小； (2)若平分交于点，求的取值范围． 16．中，，分别为内角的对边，． (1)求角的大小； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围； (3)若，，且的面积为，求的长度． 五、三角形特征线问题（中线、角平分线、等比分点线） 17．已知在中，，． (1)求的大小；(2)若，求边上的中线长度． 18．在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角；(2)若，求边上的角平分线长； 19．在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角；(2)若，，点为边上靠近点的三等分点，求的长. 六、平面图形中的计算 20．在中，已知于，则的长为（     ） A． B． C． D． 21．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 22.（多选）在中，D在线段AB上，且，，若，，则（   ） A． B．的面积为8 C．的周长为 D．为钝角三角形 23．如图，在平面四边形中，，. (1)若，，求的值；(2)若，，求的面积. 24．如图，在平面四边形中，，． (1)若，，，求的大小； (2)若，，，求． 25．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求B；(2)若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 七、解三角形的实际应用（求长度、角度、高度） 26.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 27．一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度（） A．米 B．米 C．米 D．米 28．如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 八、三角形四心问题、奔驰定理 29．在中，是边上一点，且平分，若是的外心，且，则边的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 30．在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（    ） A．点G为的重心，若，则 B．若满足，，的有两解，则t的取值范围为 C．若则是的外心 D．若点O为内一点，且，则 31.（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若O为的外心，且，则 B．若O为的内心，，则 C．若O为的重心，，则角 D．若O为的外心，且O到a，b，c三边距离分别为则 32.（多选）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则. 学科网（北京）股份有限公司 $