第二部分 专题复习(四)特殊平行四边形的性质与判定-【暑假总复习】2023年八年级初二数学暑假衔接期末复习（华东师大版）

#) ! 专题复习"四# ! 特殊平行四边形的性质与判定 !! 四边形是初中数学重要内容之一#其中的特殊 四边形更是重中之重#因此备受各地命题者的青睐 ! 常以选择题%填空题%解答题和证明题等形式呈现# 近年的中考中又出现了开放性问题%探究型问题%运 动型问题%图形操作问题等#应引起同学们的高度关 注 ! 考点 ! ! 矩形的性质与判定 "例 ! # ! 如 图!在 ( '(+ 中! '(*'+ ! . 为 边 (+ 上一点!以 '( ! (. 为邻边作 + '(.4 !连接 '. ! 4+! " # #求证$ ( '.+ .( 4+. ( " ( #若 (.*+. !求证$四边形 '.+4 是矩形 ! "解析# ! ! # "证明)因为四边形 '(.4 是平行 四边形#所以 '( ) .4 # '(*.4! 所以 , (* , 4.+! 又因为 '(*'+ #所以 '+*.4 # , (* , '+.! 所以 , 4.+* , '+.! 在 ( '.+ 和 ( 4+. 中# '+*.4 # , '+. * , 4.+ # .+*+. #所以 ( '.+ .( 4+. ! B$B "$ ! ( "证明)因为四边形 '(.4 是平行四边形#所 以 (. ) '4 # (.*'4! 所以 '4 ) +.! 又因为 (.* +. #所以 '4*+.! 所以四边形 '.+4 是平行四边 形 ! 在 ( '(+ 中# '(*'+ # (.*+.! 所以 '. - (+! 所以 , '.+*3,9! 所以 + '.+4 是矩形 ! "方法规律总结# ! 证明三角形全等的方法主要 有四种% B$B & $B$ & $$B & BBB+ 当某一个条件不具备 时'尽可能通过等角代换或等边代换等手段来证明' 从而证得三角形全等 ! 证明平行四边形的方法主要 有四种'对边平行且相等的判定方法较常用 ! 矩形的 判定方法有%! # "有一个角是直角的平行四边形是矩 形(! ( "四个角是直角的四边形是矩形(! 0 "对角线相 等的平行四边形是矩形 ! 考点 # ! 菱形的性质与判定 "例 # # ! 如图!在矩形 '(+. 中!对角线 (. 的垂 直平分线 9: 与 '. 相交于 点 9 !与 (. 相交于点 * !与 (+ 相交于点 : !连接 (9 % .:! " # #求证$四边形 (9.: 为菱形( " ( #若 '(*1 ! '.*6 !求 9. 的长 ! "解析# ! ! # "证明)因为 9: 是 (. 的垂直平分 线#所以 9(*9. # :(*:. # *(**.! 因为四边 形 '(+. 是矩形#所以 '. ) (+! 所以 , *(:* , *.9! 又 , (*: * , .*9 # *( **. #所 以 ( (*: .( .*9! 所以 (:*9.! 所以 9(*9. *(:*.:! 所以四边形 (9.: 是菱形$ ! ( "设 9.*" #则 '9 *6"" # (9 *"! 在 ;< ( '(9 中# (9 ( *'( ( )'9 ( #即 " ( *1 ( ) ! 6"" " ( ! 解得 "*!! 所以 9.*!! "方法规律总结# ! ! # "判定四边形是菱形的常 见思路%可以考虑证明一组邻边相等的平行四边形' 或四边相等的四边形'也可以考虑证明对角线互相 垂直的平行四边形(! ( "菱形的对角线互相垂直平 分'常结合勾股定理&方程模型解决直角三角形中求 边的问题 ! 考点 $ ! 正方形的性质与判定 "例 $ # ! 如图!点 * 是线段 '( 上的一点! *'**+ ! *. 平 分 , '*+ 交 '+ 于点 . ! *5 平 分 , +*( ! +5 - *5 于点 5! " # #求证$四边形 +.*5 是矩形( " ( #当 , '*+ 为多少度时!四边形 +.*5 是正 方形' 并说明理由 ! "解析# ! ! # "证明)因为 *. 平分 , '*+ # *5 平 分 , +*( #所 以 , '*+ * ( , +*. # , +*( * ( , +*5! 因为 , '*+) , (*+*#6,9 #所以 ( , +*. )( , +*5*#6,9! 所以 , +*.) , +*5*3,9! 即 , .*5*3,9! 因为 *'**+ # *. 平分 , '*+ #所以 *. - '+! 所以 , +.**3,9! 因为 +5 - *5 #所以 , +5**3,9! 所以四边形 +.*5 是矩形$ $* ! ! ( "当 , '*+*3,9 时#四边形 +.*5 是正方形 ! 理由是)当 , '*+*3,9 时#因为 '.*.+ # , +*.* 1!9 #所以 *.*.+! 因为四边形 +