第一章3 正方形的性质与判定-【通城学典】2024年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

61 3　正方形的性质与判定 1. 正方形的定义:有一组邻边 ,并且 有一个角是 的 叫做正 方形. 2. 正方形的性质: (1) 正方形的四个角都是 ,四条边 . (2) 正 方 形 的 对 角 线 且 互 相 . 3. 正方形的判定: (1) 有一组邻边 的矩形是正方形. (2) 对角线互相 的矩形是正方形. (3) 有一个角是 的菱形是正方形. (4) 对角线 的菱形是正方形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(雅安中考)如图,E,F 是正方形ABCD 的对角线BD 上的两点,且BE=DF. (1) 求证:△ABE≌△CDF; (2) 若AB=32,BE=2,求四边形AECF 的 面积. 典例1图 点拨:(1) 根据正方形的性质得出AB=CD, ∠ABE=∠CDF=45°,再利用SAS即可证明 结论;(2) 由正方形的性质,可以判断四边形 AECF 是菱形,再利用菱形的面积公式“对角线 乘积的一半”进行计算. 解答: 解有所悟:正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的 菱形和矩形,因此正方形具有这三种图形的所有性 质.同时正方形的特殊角、轴对称性、中心对称性及 旋转对称的性质也经常会用到. 典例2 如图①,等腰直角三角形OEF 的直角顶 点O 为正方形ABCD 的中心,点C,D 分别在 OE和OF上.现将△OEF绕点O按逆时针方向 旋转α(0°<α<90°),连接AF,DE(如图②). (1) 在图②中,∠AOF= (用含α的式 子表示); (2) 在图②中,猜想AF 与DE 的数量关系,并 证明你的结论. 典例2图 点拨:(1) 正方形的对角线互相垂直,夹角为直 角,再结合旋转的性质即可求解.(2) 由图形可 猜想AF=DE.由正方形的对角线相等且互相 垂直平分的性质,易证△AOF≌△DOE,进而 证明猜想成立. 解答: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 62 解有所悟:正方形绕其中心每旋转90°便与自身重 合,也就是说正方形是旋转对称图形,旋转中心是两 条对角线的交点(中心对称图形是特殊的旋转对称 图形).过旋转中心的每组互相垂直的直线将正方形 分成的四部分全等,若直角三角形的直角顶点在旋 转中心上,则直角三角形无论怎样旋转,其与正方形 重叠部分的面积恒为正方形面积的1 4. 典例3(兴安盟中考)如图,AD 是△ABC 的角 平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E, F,连接EF,EF 与AD 相交于点H. (1) 求证:AD⊥EF. (2) 当△ABC 满足什么条件时,四边形AEDF 是正方形? 请说明理由. 典例3图 点拨:(1) 根据AAS证明△AED≌△AFD,进 而利用全等三角形的性质及等腰三角形三线合 一的性质解答即可;(2) 根据对角线垂直的矩 形是正方形,只需判断四边形AEDF 是矩形即 可解答. 解答: 解有所悟:在平行四边形、矩形或菱形的基础上添加 相关条件就可以判断一个四边形是正方形.对于探 究使一个图形是正方形的条件的问题,我们在求解 时往往需要假设得到的四边形是正方形的情形下探 究某些边或角所具有的关系,再由添加的条件来完 成证明过程. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列说法中,正方形具有而矩形不具有的性 质是 ( ) A. 两组对边分别平行 B. 对角线互相垂直 C. 四个角都为直角 D. 对角线互相平分 2. (玉林中考)如图,一个四边形顺次添加下列 条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对 边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一 组邻边相等;d.一个角是直角.顺次添加的 条件:① a→c→d;② b→d→c;③ a→b→c. 其中,正确的是 ( ) 第2题 A. ① B. ③ C. ①② D. ②③ 3. (黄石中考)如图,正方形OABC 的边长为 2,将正方形OABC 绕原点O 按顺时针方 向旋转45°,则点B的对应点的坐标为