第二部分 专题复习(三)平行四边形的性质与判定-【暑假总复习】2023年八年级初二数学暑假衔接期末复习（华东师大版）

#& ! 专题复习"三# ! 平行四边形的性质与判定 !! 平行四边形既是几何中的基本图形#又是+图形 与几何,领域的研究对象之一 ! 平行四边形的知识一 直是近年来中考命题的热点#是历年中考必考内容# 与平行四边形相关的试题形式多样#并且不断创新# 平行四边形的性质和判定常与三角形全等%图形变 换#以及操作探究息息相关#在中考命题中占有十分 重要的地位 ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!! 考点 ! ! 平行四边形的性质与判定 "例 ! # ! 已知$如图! 4 % 5 分 别是 + '(+. 的边 '. % (+ 的中 点 ! 求证$ '5*+4! "解析# ! 要证 '5*+4 #只 要证明四边形 '4+5 是平行四边形#又由题知# '4 *+5 #所以只要证明 '4 ) +5 即可 ! 证明)因为四边形 '(+. 是平行四边形#且 4 % 5 分别是 '. % (+ 的中点#所以 '4*+5! 又因为四 边形 '(+. 是平行四边形#所以 '. ) (+ #即 '4 ) +5! 所以四边形 '5+4 是平行四边形 ! 所以 '5*+4! "方法规律总结# ! 解决与判定一个四边形是平 行四边形有关的题目时'依据已知条件以及图形的 特征'思考可以涉及的判定方法 ! 若已知条件和边的 平行或相等有关'则可考虑只与对边平行和相等有 关的判定定理证明'若已知条件涉及对角线'可从对 角线互相平分上去思考证明方法 ! 考点 # ! 与平行四边形有关的计算 "例 # # ! 如 图!过 + '(+. 的对角线 (. 上 一点 9 分别作平行于四边 形两边的平行线 45 与 67 !那么图中的 + '496 的面积 8 # 与 + 7+59 的面积 8 ( 的大小关系是 " !! # $+8 # # 8 ( %+8 # $ 8 ( &+8 # *8 ( '+(8 # *8 ( "解析# ! E 四边形 '(+. 是平行四边形# F'( *+. # '.*+( # F ( '(. . ( +.( # F8 ( '(. * 8 ( +.( ! 又 E45 % 67 分别平行于两边# F 易得四边形 4(79 % 695. 均为平行四边形# F8 ( 4(9 *8 ( (79 # 8 ( 69. *8 ( 95. !F8 ( '(. "8 ( (49 "8 ( 69. *8 ( +.( " 8 ( (79 "8 ( .95 #即 8 # *8 ( ! 故选 &+ "方法规律总结# ! 本题考查了平行四边形性质 的简单应用'以及全等三角形的性质'能正确分解图 形是解题的关键 ! 把无法直接求的结论转化为熟悉 的图形是数学中常用的一种方法'另外在本题中'要 熟悉平行四边形的对角线把平行四边形分成的两个 三角形的面积相等 ! "例 $ # ! 如图!在 + '(+. 中! , '*/,9 !将 + '(+. 折叠!使点 . % + 分别落在点 5 % 4 处"点 5 % 4 都在 '( 所在的直线上#!折痕为 9: !则 , '95 等于 ! "解析# ! 根据题意知道四边形 954: 与四边 形 9.+: 关于折痕 9: 成轴对称#则 , 954* , .! 又因为 , ') , .*#6,9 % , 95') , 954* #6,9 #所 以 , 95' * , ' */,9! 因 为 , '95) , 95') , '*#6,9 #所以 , '95*1,9! "方法规律总结# ! 本题考查了平行四边形性质 和轴对称图形的性质'解题的关键是灵活应用平行 四边形性质和轴对称图形的性质将问题进行转化 ! 解答这类问题时'往往需要灵活应用轴对称图形隐 含的边&角之间的相等关系解决问题 ! 考点 $ ! 与平行四边形有关的开放探究题 "例 % # ! 如图!已知 + '(+. 中! 4 为 '. 的中点! +4 的延长线交 (' 的延长线于点 5! " # #求证$ +.*5' ( " ( #若要使 , (5+* , (+5 !则 + '(+. 的边长 之间还需再添加一个什么条件' 请补上这个条件! 并进行证明"不再增添辅助线# ! "解析# ! ! # "证明) E 四边形 '(+. 是平行四 边形# F+. ) (5! F , (5+* , .+4 # , 5'4* , +.4! E4.*4' # F ( .+4 .( '54!F+.*5'! #' ! ! ( "在 + '(+. 中#只要 (+*('( #就能使 , (5+* , (+5! 证明) E'(*+.*5' # (+*('( # F(+*'()'5*(5! F , (5+* , (+5! "方法规律总结# ! 对于条件开放性试题'可以 把结论当条件逆推得出符合要求的条件'同时注