第三部分 思想方法(一)分类讨论思想-【暑假总复习】2023年八年级初二数学暑假衔接期末复习（华东师大版）

$& ! 第三部分 思想方法篇 思想方法"一# ! 分类讨论思想 在我们所遇到的数学问题中#有些问题的结论 不唯一#有些问题的结论不能以统一的形式进行研 究#还有些问题的已知量是用字母来表示的形式给 出的#这样字母的取值不同也会影响问题的解决#所 以在研究这些问题时常常用到分类讨论思想 ! 分类讨论的原则是不重复#不遗漏 ! 讨论的方法 是逐类进行#还必须要注意综合讨论的结果#以使解 题步骤完整 ! 一!分类讨论思想在分式方程无解情况中的应用 "例 ! # ! 关于 " 的方程0"(" ""0 ) ()%" 0"" *"# 无 解!则 %* ! "解析# ! 方程两边同时乘以! ""0 "#得 0"(" " ! ()%" " *" ! ""0 "#整理#得! %)# " *"(! 因 为当 " 的系数 %)#*, #即 %*"# 时#方程! %)# " *"( 无解#原分式方程也就无解#所以当 %*"# 时#原分式方程无解$由于 0 是原方程的增根#把 "* 0 代入方程! %)# " *"( #得 %*" ! 0 ! 所以当 %* "# 或 %*" ! 0 时#原分式方程无解 ! "方法规律总结# ! 利用无解求分式方程中的待 定字母的值的方法是%! # "先将分式方程去分母后转 化为整式方程(! ( "确定整式方程有解还是无解'当 整式方程有解时'确定原分式方程的增根(将增根代 入所化的整式方程'解之就可以得到所求字母的值( 若整式方程无解'原分式方程就无解 ! 不能受习惯的 影响'错误地认为只要 " 的值是原方程的增根'原分 式方程就无解 ! 要注意整式方程本身无解时'原分式 方程也无解的情况 ! 二!分类讨论思想在一次函数中的应用 "例 # # ! 已知一次函数 ) *,")$ !当 , & " & ( 时!对应的函数值 ) 的取值范围是 "( & ) & 1 !则 ,$ 的值为 " !! # $+#( %+"- &+"- 或 "#( '+- 或 #( "解析# ! 根据一次函数的性质#分 , # , 和 , $ , 两种情况讨论求解 ! ! # "当 , # , 时# ) 随 " 的增大而增大#即一次函 数为增函数# F 当 "*, 时# ) *"( #当 "*( 时# ) * 1 #代入一次函数解析式 ) *,")$ 得) $*"( # (,)$*1 3 ! 解 得 $*"( # ,*0 3 ! F,$*0. ! "( " *"- $ ! ( "当 , $ , 时# ) 随 " 的增大而减小#即一次函 数为减函数# F 当 "*, 时# ) *1 $当 "*( 时# ) * "( #代 入 一 次 函 数 解 析 式 ) *," )$ 得) $*1 # (,)$*"( 3 ! 解得 $*1 # ,*"0 3 ! F,$*"0.1*"#(! 所以 ,$ 的值为 "- 或 "#(! 故选 &+ "方法规律总结# ! 解决一次函数中的问题时' 在没有注明 , 的值是正数还是负数时'一定要分情 况讨论'以免漏解 ! 三!分类讨论思想在反比例函数中的应用 "例 $ # ! 如图! - 是反比例函 数 ) * , " 图象上一点!过 - 分别向 " 轴% ) 轴引垂线!若 8阴*0!则解 析式为 ! "解析# ! 设 - ! " , # ), "#由 8阴* % " ,), % * % , % * 0 # F,*?0 #又因为 ) * , " 的图象在第二%四象限#所 以 , $ , #所以 ,*"0 #所以解析式为 ) *" 0 " ! $' ! "方法规律总结# ! 在运用 , 的几何意义解决反 比例函数问题时'特别注意图象所在的象限'然后根 据所在象限确定 , 的值是正还是负'以防没有考虑 由图象给出的信息条件而导致错误 ! 四!分类讨论思想在四边形中的应用 "例 % # ! 已知正方形 '(+. !点 - 是对角线 '+ 所在直线上的动点!点 4 在 .+ 边所在直线上!且随 着点 - 的运动而运动! -4*-. 总成立 ! " # #如图 # !当点 - 在对角线 '+ 上时!请你通过 测量%观察!猜想 -4 与 -( 有怎样的关系' "直接写 出结论不必证明#( " ( #如图 ( !当点 - 运动到 +' 的延长线上时! " # #中猜想的结论是否成立' 如果成立!请给出证 明(如果不成立!请说明理由( " 0 #如图 0 !当点 - 运动到 +' 的反向延长线上 时!请你利用图 0 画出满足条件的图形!并判断此时 -4 与 -( 有怎样的关系' "直接写出结论不必证明# "解析# ! ! # " " -4*-( # # -4 - -( $ ! ( "! # "中的结论成立 ! " E 四边形 '(+. 是正方