第三部分 思想方法(二)数形结合思想-【暑假总复习】2023年八年级初二数学暑假衔接期末复习（华东师大版）

%* ! 思想方法"二# ! 数形结合思想 数学试题或以+数,的形式呈现#或以+形,的形 式呈现#数形结合的思想就是把数量关系的精确刻 画与空间形式的直观展现巧妙%和谐地结合在一起# 寻求解题思路 ! 一!数形结合思想在分式方程中的应用 "例 ! # ! 如图!点 ' % ( 在数轴上!它们所对应的 数分别是 "1 ! (")( 0""! !且点 ' % ( 到原点的距离相等! 求 " 的值 ! "解析# ! 结合题意和图示可以得到)点 ' % ( 到 原点的距离相等#所以绝对值相等#所以点 ( 表示的 数是 1 #所以(")( 0""! *1! 两边同乘以 0""! 得) (")( *1 ! 0""! " ! 解之得) "* ## ! ! 经检验) "* ## ! 是原分 式方程的解 ! "方法规律总结# ! 此类问题打破常规'以新颖 的情景给出问题'其实质还是解分式方程'解决问题 的关键是利用数形结合'构造出分式方程'解出结 果'但要注意分式方程要验根 ! 二!数形结合思想在函数中的应用 "例 # # ! 甲%乙两个港口相距 /( 千米!一艘轮船 从甲港出发!顺流航行 0 小时到达乙港!休息 # 小时 后立即返回(一艘快艇在轮船出发 ( 小时后从乙港 出发!逆流航行 ( 小时到甲港!并立即返回"掉头时间 忽略不计# ! 已知水流速度是 ( 千米.时!下图表示轮船 和快艇距甲港的距离 ) "千米#与轮船出发时间 " "小 时#之间的函数关系式!结合图象解答下列问题$ "顺流速度 * 船在静水中速度 ) 水流速度$逆流 速度 * 船在静水中速度 " 水流速度# " # #轮船在静水中的速度是 千米.时( 快艇在静水中的速度是 千米.时! " ( #求快艇返回时的解析式!写出自变量取值范 围( " 0 #快艇出发多长时间!轮船和快艇在返回途中 相距 #( 千米' "直接写出结果# "解析# ! ! # " (( # 06 $ ! ( "点 5 的横坐标为) 1)/(2 ! 06)( " *!!6 # 5 ! !6 # /( "# 4 ! 1 # , " ! 设 45 解 析 式 为 ) *," )$ ! , " , "#得 !!6,)$*/( # 1,)$*, 3 ! ! 解得 ,*1, # $*"#-, 3 ! F ) *1,""#-, ! 1 & " & !!6 "$ ! 0 "快艇出发 0 小时或 0!1 小时#两船相距 #( 千米 ! "方法规律总结# ! 行程问题中的自变量一般是 时间'函数大多是路程!少部分是速度"'如果路程是 时间的函数'则通常先求出速度'然后根据函数图象 上点的坐标'得到不同路段上的函数解析式'根据问 题的需要'利用函数与方程!组"关系或函数与不等 式的关系解决问题 ! 三!数形结合思想在四边形中的应用 "例 $ # ! 如图!菱形 '(+. 的对角线 '+ % (. 相交于点 * !且 '+*6 ! (.*- !过点 * 作 *7 - '( !垂足为 7 !则点 * 到边 '( 的距离 *7 * ! "解 析# ! 先 求 出 '* % *( #再利用勾股定理 求出 '( #利用 ( '*( 的 面积可以有两种表示) # ( '* . (* # # ( '( . *7! 列出方程#可求得 *7* #( ! ! "方法规律总结# ! 利用相同图形的面积的不同 表示'列方程求未知数是经常用到的方法'这一方 法'常简称为面积法 ! %! 四!数形结合思想在数据的处理中的应用 "例 % # ! 王大伯几年前 承包了 甲%乙 两片荒 山!各 栽 #,, 棵杨梅 树!成活 36D ! 现已挂果!经济效益初步显现!为了分析收成情况! 他分别从两山上随意各采摘了 1 棵树上的杨梅!每 棵的产量如折线统计图所示 ! " # #分别计算甲%乙两山样本的平均数!并估算 出甲%乙两山杨梅的产量总和( " ( #试通过计算说明!哪个山上的杨梅产量较稳定' "解析# ! ! # "首先根据折线统计图读取 1 棵树 的产量)甲山上 1 棵树的产量分别为 !, 千克% 0- 千 克% 1, 千克% 01 千克$乙山上 1 棵树的产量分别为 0- 千克% 1, 千克% 16 千克% 0- 千克 ! 然后求平均产量#估 算出甲%乙两山杨梅的产量总和 ! 0 "甲*1,!千克"# 0 "乙*1,!千克"# F 总产量为 1,.#,,.36D.(*/61, !千克" ! ! ( "杨梅产量的稳定与否可通过方差作比较 ! 8 ( 甲* # 1 &! ,"1, " ( ) ! 0-"1, " ( ) ! 1,"1, " ( ) ! 01"1, " ( ' *06 # 8 ( 乙* # 1 &! 0-"1, " ( ) ! 1,"1, "