第二部分 专题复习(一)与三角形的有关证明-【暑假总复习】2023年八年级初二数学暑假衔接期末复习（北师大版）

## ! 第二部分 专题复习篇 专题复习!一" ! 与三角形的有关证明 三角形的有关证明是初中几何的一个重要内 容!也是中考一个热点!近年来题型设计多样化!常 与四边形"图形的变换"函数等知识相结合形成压轴 题 ! 主要涉及三角形的中位线"全等三角形"等腰三 角形及勾股定理 ! 考点 ! ! 与三角形中位线的有关证明 !例 ! " ! 我们把依次连接任 意一个四边形各边中点得到的 四边形叫做中点四边形 ! 如图!在四边形 "#$% 中! & ! ' ! ( ! 9 分别是边 "# ! #$ ! $% ! %" 的中点!依次连接各边中点得到中 点四边形 &'(9! " + #这 个 中 点 四 边 形 &'(9 的 形 状 是 ) " . #请证明你的结论 ! !解析" ! # + $平行四边形% # . $证明&连接 "$! #如下图$ 5& ! ' 分别是边 "# ! #$ 的中点! 6&' % "$ ! &'/ + . "$! 59 ! ( 分别是边 "% ! %$ 的中点! 69( % "$ ! 9(/ + . "$! 6&' % 9( ! &'/9(! 6 四边形 &'(9 是平行四边形 ! !方法规律总结" ! 本题主要考查了平行四边形 的判定#解题的关键是通过添加辅助线利用三角形 的中位线性质证明#解决此类问题一般把四边形问 题转化为三角形问题 ! 考点 " ! 与三角形全等的有关证明 !例 " " ! 如图! $%/$" ! $ +/ $ . ! &$/#$! 求 证( %&/"#! !解析" ! 证明& 5 $ +/ $ . ! 6 $ +7 $ &$"/ $ .7 $ &$" ! 即 $ #$"/ $ &$%! 在 " #$" 与 " &$% 中! #$/&$ ! $ #$"/ $ &$% ! $"/$% + , - ! 6 " #$" #" &$% # B!B $ ! 6%&/"#! !方法规律总结" ! 应用全等三角形证明线段相 等$角相等#是常用的方法之一#也是中考常考的知 识点 ! 一般的三角形有%& B!B '$& !B! '$& !!B '$ & BBB '四种全等判定方法#直角三角形还有另外的一 种& CD '判定方法 ! 考点 # ! 与等腰三角形的有关证明 !例 # " ! 如图!已知 "& % #$ ! "& 平分 $ %"$ !求证( "#/"$! !解析" ! 证明& 5"& 平分 $ %"$ ! 6 $ +/ $ .! 5"& % #$ ! 6 $ +/ $ # ! $ ./ $ $! 6 $ #/ $ $! 6"#/"$! !方法规律总结" ! 本题是一道基础题#易于求 证 ! 分析时可先由问题入手#寻找需要的条件#也可 由条件入手#尝试得到结论#对于复杂的问题还可以 将上面的两种方法进行综合 ! #$ ! 考点 $ ! 与勾股定理的有关证明 !例 $ " ! 如图!在由边长为 + 的小正方形组成的 网格中! " "#$ 的三个顶点都在格点上! & 为 "$ 中 点 ! " + #画 "% % #$ " % 为格点#!连接 $% ) " . #试说明 " "#$ 是直角三角形 ! !解析" ! # + $如图所示% # . $ 5 小正方形边长为 + ! 6"# . /' ! "$ . /' ! #$ . /+$! 6"# . 7"$ . /#$ . ! 6 " "#$ 是直角三角形 ! !方法规律总结" ! 正方形网格是研究图形性质 的很好的载体#如果线段在网格线上#可以通过数网 格得到线段的长度#如果线段不在网格线上#还需要 结合勾股定理解决问题#再利用勾股定理的逆定理 即可证明 " "#$ 是直角三角形 ! 考点 % ! 与三角形的有关证明的综合应用 !例 % " ! 已 知 两 个 共 顶 点 的 等 腰 三 角 形 23 " "#$ ! 23 " $&' ! $ "#$/ $ $&'/1$% !连接 "' ! * 是 "' 的中点!连接 *# ! *&! " + #如图 + !当 $# 与 $& 在同一直线上时!求 证( *# % $' ) " . #在图 + 中!若 "#/4 ! $&/.4 !求 #* ! *& 的长) " # #如图 . !当 $ #$&/0'% 时!求证( #*/*&! !!!!! 图 + !!!!!!!!! 图 . !解析" ! # + $证明&如图 # !连接 $*! 5 " "#$ 与 " $&' 是等腰直角三角形! 6 $ "$'/.90'%/1$%! 又点 * 是 "' 的中点! 6$*/"*! 又 "#/$# ! #*/#* ! 6 " "#* #" $#*! 6 $ +/ $ .! 6 $ "*$/. $ +! 5$*/*' ! 6