第二部分 专题复习(三)分式方程的解法与应用-【暑假总复习】2023年八年级初二数学暑假衔接期末复习（北师大版）

$! 专题复习!三" ! 分式方程的解法与应用 分式方程既是方程家族中的重要成员!也是中 考命题的热点!主要考查分式方程的解法及应用 ! 通 过应用分式方程解决实际问题!能够进一步提高分 析问题"解决问题的能力!增强应用数学的意识 ! 解 决这类问题!除了注意审题!找出相等关系外还应注 意的一点是检验 ! 考点 ! ! 解分式方程 !例 ! " ! 解方程( 2 24. 4 + 2 . 40 /+! !解析" ! 先确定最简公分母# 27. $# 24. $!方 程两边同乘最简公分母!把分式方程转化为整式方 程求解!最后要检验 ! 方程两边乘# 27. $# 24. $!得 2 # 27. $ 4+/ # 27. $# 24. $ ! 解得 2/4 # . ! 检验& 2/4 # . 时# 27. $# 24. $ 1 $ !所以 2/ 4 # . 是原分式方程的解 ! !方法规律总结" ! 本例旨在考查分式方程的解 法#求解时一定要领会解分式方程的基本思想是&转 化思想'#把分式方程转化为整式方程求解 ! 另外#解 分式方程一定要注意验根 ! 考点 " ! 分式方程的增根 !例 " " ! 若关于 2 的方程24+ 24' / 0 +$4.2 无解! 则 0/ ! !解析" ! 原方程可化为24+ 24' / 0 4. # 24' $ !方 程两边都乘以 4. # 24' $得! 4. # 24+ $ /0 !解得 2 /4 04. . ! 5 方程无解! 64. # 24' $ /$ ! 62/' ! 64 04. . /'! 解得 0/4-! !方法规律总结" ! 分式方程无解的情况就是出 现了增根#而这个增根产生的原因就是在从分式方 程转化为整式方程时方程两边都乘了个 $ #据此我们 可以得出增根的值#从而可以求得未知字母的取值 ! 考点 # ! 分式方程的实际应用 !例 # " ! 某校学生捐款支援地震灾区!第一次捐 款总额为 ))$$ 元!第二次捐款总额为 ,.)$ 元!第 二次捐款总人数比第一次多 #$ 人!而且两次人均捐 款额恰好相等!求第一次捐款的总人数 ! !解析" ! 直接设元!用该'元(表示相关的量!比 如两次的人均捐款数额!这两者相等就是方程 ! 设第一次捐款人数为 2 人! 依题意!得))$$ 2 / ,.)$ 27#$ ! 去分母得& +$27#$$/++2! 解得 2/#$$! 经检验! 2/#$$ 是所列方程的解 ! 答&第一次捐款的人数为 #$$ 人 ! !方法规律总结" ! 用两种不同形式的代数式表 示同一个量#且至少有一个表达式中含有未知数#然 后用等号连接它们#则所得等式就是所列方程 ! 如本 题中人均捐款这个量#既可以表示为))$$ 2 !元"#又 可以表示为,.)$ 27#$ !元"#这二者用& / '连接#就是所 列的分式方程 ! !例 $ " ! 为了创建全国卫生城市!某社区要清理 一个卫生死角内的垃圾!租用甲$乙两车运送!两车 各运 +. 趟可完成!需支付运费 0-$$ 元 ! 已知甲$乙 两车单独运完此垃圾!乙车所运趟数是甲车的 . 倍! 且乙车每趟运费比甲车少 .$$ 元 ! " + #求甲$乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少 趟' " . #若单独租用一台车!租用哪台车合算' !解析" ! # + $设甲车单独运完此堆垃圾需运 2 趟!则乙车单独运完此堆垃圾需 .2 趟!依题意!得+. 2 $" ! 7 +. .2 /+! 解得 2/+-! 经检验! 2/+- 是原方程的解 ! 6.2/#)! 答&甲车单独运完此堆垃圾需 +- 趟!乙车需 #) 趟 ! # . $设甲车每趟需运费 4 元!则乙车每趟需运费 # 44.$$ $元!依题意!得 +.47+. # 44.$$ $ /0-$$! 解得 4/#$$! 644.$$/+$$! 6 单独租用甲车的费用为& #$$9+-/'0$$ #元$% 单独租用乙车的费用为& +$$9#)/#)$$ #元$ ! '0$$ ) #)$$! 6 单独租用乙车合算 ! !方法规律总结" ! 在列方程解决实际问题时# 我们一是要注意审题#找到题目中的相等关系(二是 设未知数时要注意选择和题目中各个量关系都密切 的量#注意根据问题情况灵活选择设法 ! 如直接设$ 间接设#设多元等(三是求分式方程的解时#验根应 从两个方面出发%一方面是方程的本身#另一方面是 实际问题#根既要使方程的本身有意义#又要符合实 际意义 ! 四是合算的问题就是方案选择问题#也就是 比较谁少的问题#一定要把方案选择转化为求哪几 个量的问题#再进行计算比较 ! !! 下面是四位同学解方程 . 24+ 7 2 +42 /+ 过程中去 分母的一步!其中正确的是 " !! #