第三部分 思想方法(一)数形结合思想-【暑假总复习】2023年八年级初二数学暑假衔接期末复习（北师大版）

$' ! 第三部分 思想方法篇 思想方法!一" ! 数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过&'数形结合百般 好!隔裂分家万事非( ! '数(与'形(反映了事物两个 方面的属性 ! 数形结合就是把抽象的数学语言"数量 关系与直观的几何图形"位置关系结合起来!通过 '以形助数(或'以数解形(使复杂问题简单化!抽象 问题具体化!从而起到优化解题途径的目的 ! 在中学 数学的解题中!数形结合主要有三类型&以'数(化 '形("以'形(化'数(和'数('形(结合 ! 一#数形结合在解不等式$组%中的应用 !例 ! " ! 解不等式组 24# * $ ! ! ' " 24+ # 7) ) 02! + , - " 并把 解集在数轴上表示出来 ! !解析" ! 先求解不等式组中每个不等式的解 集!再结合数轴表示解集并写出解集 ! 解不等式 ! !得 2 * # ! 解不等式 " !得 2 ) 4+! 不等式 !" 的解集在数轴上表示如下& 所以不等式组的解集为 4+ ( 2 * #! !方法规律总结" ! 一元一次不等式组的解法% ! + "分别求出不等式组中各个不等式的解集(! . "利 用数轴求出这些不等式的解集的公共部分#即这个 不等式组的解集 ! 把解集表示在数轴上时注意#小于 向左画#大于向右画#有等号的画实心点#无等号的 画空心点 ! 二#数形结合在因式分解中的应用 !例 " " ! 利用 + 个 494 的正方形! + 个 595 的 正方形和 . 个 495 的长方形可拼成一个正方形"如 图所示#!从而可得到因式分解的公式 ! !解析" ! 根据提示可知 + 个 494 的正方形! + 个 595 的正方形和 . 个 495 的长方形可拼成一个 正方形!利用面积和列出等式即可求解 ! 两个正方形的面积分别为 4 . ! 5 . !两个长方形的 面积都为 45 !组成的正方形的边长为 475 !面积为 # 475 $ . !所以 4 . 7.4575 . / # 475 $ . ! !方法规律总结" ! 本题考查了运用完全平方公 式分解因式#突出考查了数形结合的思想方法#解题 的关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关 系 ! 三#数形结合在图形的平移与旋转中的应用 !例 # " ! 如图!在平面直角坐标系 2) 3 中!点 " 的坐标为" 4. ! $ #!等边三角形 ")$ 经过平移或轴 对称或旋转都可以得到 " )#%! " + # " ")$ 沿 2 轴向右平移得到 " )#% !则平 移的距离是 个单位长度) " ")$ 与 " #)% 关于直线对称!则对称轴是 ) " ")$ 绕原点 ) 顺时针旋转得到 " %)# !则旋 转角可以是 度) " . #连接 "% !交 )$ 于点 & !求 $ "&) 的度数 ! $( ! !解析" ! # + $平移距离为等边三角形的边长!可 度量线段 ") ! #) 的长%对称轴是一对对应点连线段 的垂直平分线!如 "# 的垂直平分线%旋转角等于 $ ")% 或 $ $)# 的大小 ! 5 点 " 的坐标为# 4. ! $ $! 6 " ")$ 沿 2 轴向右平移 . 个单位得到 " )#%! " ")$ 与 " #)% 关于 3 轴对称 ! 5 " ")$ 为等边三角形! 6 $ ")$/ $ #)%/)$%! 6 $ ")%/+.$%! 6 " ")$ 绕原点 ) 顺时针旋转 +.$% 得到 " %)# % # . $先证明 "% 平分 $ $") !可得 "% 垂直平分 $)! 如图! 5 等边 " ")$ 绕原点 ) 顺时针旋转 +.$% 得到 " %)# ! 6)"/)%! 5 $ ")$/ $ #)%/)$% ! 6 $ %)$/)$% ! 即 )& 为等腰 " ")% 的顶角的平分线! 6)& 垂直平分 "%! 6 $ "&)/1$%! !方法规律总结" ! 这是一道轴对称$旋转$平移 和等边三角形综合的题目#解决问题的关键是抓住 变换前后的线段与角度之间的关系 ! !! 不等式 '24+ ) .27' 的解集在数轴上表示正确 的是 " !! # "! 如图!点 " ! # ! $ ! % 都在方格纸的格点上!若 " ")# 绕点 ) 按逆时针方向旋转到 " $)% 的位 置!则旋转的角度为 " !! # !"#$% &"0'% ("1$% *"+#'% 第 . 题图 !! 第 # 题图 #! 将一个有 0'% 角的三角板的直角顶点放在一张宽 为 #;< 的纸带边沿上 ! 另一个顶点在纸带的另一 边沿上!测得三角板的一边与纸带的一边所在的 直线成 #$% 角!如图!则三角板的最大边的长为 " !! # !"#;< &");< 槡 槡("# .;< *") .;<