第18讲　导数与不等式（I）——导数方法证明不等式-2024年高三数学一轮复习讲义

第18讲　导数与不等式 / 第1课时　导数方法证明不等式 / 1、 　　基础知识 构造函数证明不等式:构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数的单调性、极值、最值加以证明. 常见的构造方法有:(1)直接构造法,证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)-g(x)>0(或f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)适当放缩构造法,一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论,如ln x≤x-1,ex≥x+1,ln x<x<ex(x>0),≤ln(x+1)≤x(x>-1);(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数,把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式,根据“相同结构”构造辅助函数;(4)构造双函数,若直接构造函数求导,难以判断符号,导函数零点也不易求得,因此函数单调性与极值点都不易获得,则可构造函数f(x)和g(x),利用其最值求解. 提示:在构造函数证明不等式时,常会用到一些放缩技巧:(1)舍去一些正项(或负项);(2)在和或积中换大(或换小)某些项;(3)扩大(或缩小)分式的分子(或分母);(4)构造基本不等式(通常结合代换法,注意对指数的变换). 2、 分类训练 探究点一　利用导数证明一元不等式 角度1　直接构造函数证明不等式 例1 已知函数f(x)=mex-ln x-1. (1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当m≥1时,证明:f(x)>1. [总结反思] 待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,即若证明f(x)>g(x)在区间D上恒成立,则构造函数h(x)=f(x)-g(x),再根据函数h(x)的单调性,证明h(x)>0在区间D上恒成立. 变式题 已知函数f(x)=3x2+(6-a)x-aln x(a∈R且a≠0). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a=1时,证明:对任意的x>0,都有f(x)+ex>3x2+5x+2. 角度2　放缩后构造函数证明不等式 例2 已知函数f(x)=aln(x-1)+,其中a为正实数. (1)求f(x)的单调区间; (2)证明:当x>2时,f(x)<ex+(a-1)x-2a. [总结反思] 导数方法证明不等式时,最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的难题,对于这类问题,可以考虑先对ex和ln x进行放缩,使问题简化,简化后再构建函数进行证明.常见的放缩公式如下:(1)ex≥1+x,当且仅当x=0时取等号;(2)ex≥ex,当且仅当x=1时取等号;(3)ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号. 变式题 已知函数f(x)=ln x+-1. (1)求函数f(x)的最小值; (2)当x∈(0,π)时,证明:ex>(1-ln x)sin x. 角度3　构造双函数证明不等式 例3 已知函数f(x)=-ax(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a≤0时,求证:f(x)>ln x. [总结反思] 当直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证不等式进行变形,构造两个都便于求导的函数,即转变为两个函数之间最值的比较,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目的. 探究点二　双变量不等式的证明 例4 已知函数f(x)=aln x. (1)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=e处的切线方程; (2)设h(x)=f(x)-x,若存在不相等的实数x1,x2,使得h(x1)=h(x2),证明:0<a<x1+x2. [总结反思] 破解含双变量不等式的证明问题的关键: 一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式; 二是巧构造函数,再借助导数,判断函数的单调性,从而求其最值; 三是回归双变量的不等式的证明,把所求的最值应用到双变量不等式,即可证得结果. 变式题 已知函数f(x)=ln x-mx-1,m∈R. (1)若函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线2x+y+1=0垂直,求m的值. (2)若函数g(x)=xf(x)在其定义域上有两个极值点x1,x2. ①求m的取值范围; ②证明:x1x2>e2. 探究点三　数列型不等式的证明 例5 已知函数f(x)=ln x+-1. (1)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围; (2)设an=,数列{an}的前n项和为Sn,证明:Sn<ln(n+1). [总结反思] 用导数方法来证明形如:a1+a2+a3+…+an<g(n)(或a1a2a3…an<g(n))的数列不等式,对于多数同学来说构造是难点,即构造一个不等式,它的一般解题思路为:①令bn=g(n)-g