第18讲　导数与不等式（II）——利用导数研究恒成立问题-2024年高三数学一轮复习讲义

第18讲　导数与不等式 / 第2课时　利用导数研究恒成立问题 / 1、 基础知识 　　一般地,若a>f(x)对x∈D恒成立,则只需a>f(x)max;若a<f(x)对x∈D恒成立,则只需a<f(x)min.若存在x0∈D,使a>f(x0)成立,则只需a>f(x)min;若存在x0∈D,使a<f(x0)成立,则只需a<f(x)max.由此构造不等式,求解参数的取值范围. 分类讨论法:常见有两种情况,(1)先利用综合法,结合导函数的零点之间的大小关系的决定条件,确定分类讨论的标准,分类后,判断不同区间函数的单调性,得到最值,构造不等式求解;(2)直接通过导函数的式子,看出导函数值正负的分类标准,通常导函数为二次函数或者一次函数. 提示一:求解参数范围时,一般会涉及分离参数,试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况,通常需要设出导函数的零点,难度较大. 提示二:破解不等式求参问题,时常会通过不等式的同解变形,构造一个与背景函数相关的函数,利用函数最值确定参数的取值范围.在构造函数或求最值的过程中常用的放缩方法有函数放缩法、基本不等式放缩法、叠加不等式放缩法等. 2、 分类训练 探究点一　恒成立与能成立问题 例1 已知函数f(x)=aln x++bx,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y+1=0. (1)求实数a,b的值及函数f(x)的单调区间; (2)若关于x的不等式f(x)-2≥x+恒成立,求实数m的取值范围. [总结反思] 由不等式恒成立(能成立)求参数取值范围的思路及关键: (1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离. 变式题1 已知f(x)=x2+x,g(x)=ln(x+1)-a. (1)若存在x0∈[0,2],使得f(x0)>g(x0),求实数a的取值范围; (2)若对任意的x1,x2∈[0,2],恒有f(x1)>g(x2),求实数a的取值范围; (3)若对任意的x2∈[0,2],存在x1∈[0,2],使得f(x1)>g(x2),求实数a的取值范围. 变式题2 已知函数f(x)=ax3-(a2-4)x+4,当x=1时,函数f(x)有极大值. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若存在x0∈[-3,2],使得f(x0)+m≥0能成立,求m的取值范围. 探究点二　可化为恒成立问题的导数问题 例2 已知函数f(x)=ln x-ax,a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)设g(x)=x3-xsin x+,当a≥0时,判断是否存在x0,使得f(x0)≥g(x0),并证明你的结论. [总结反思] (1)利用导数研究函数的单调性,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键. (2)可化为不等式恒成立问题的基本类型: 类型1:函数f(x)在区间D上单调递增,只需f'(x)≥0. 类型2:函数f(x)在区间D上单调递减,只需f'(x)≤0. 类型3:∀x1,x2∈D,f(x1)>g(x2),只需f(x)min>g(x)max. 类型4:∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2),只需f(x)min>g(x)min. 类型5:∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)<g(x2),只需f(x)max<g(x)max. 变式题1 已知函数f(x)=ex--. (1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围; (2)当a=1时,求证:对任意m∈[-2,2],函数f(x)的图像均在x轴上方. 变式题2 已知函数f(x)=ax-2sin x+xcos x. (1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线在y轴上的截距; (2)若函数f(x)在区间[0,]上是增函数,求实数a的取值范围. 3、 同步作业 1.若存在x0∈[,e],使得不等式2x0ln x0+-mx0+3≥0成立,则实数m的最大值为 (　　) A.+3e-2 B.+e+2 C.4 D.e2-1 2.(多选题)关于函数f(x)=ex-ax,x∈R,下列说法正确的是 (　　) A.当a=1时,f(x)在(-∞,0)上单调递增 B.当a=0时,f(x)-ln x≥3在(0,+∞)上恒成立 C.对任意a<0,f(x)在(-∞,0)上一定存在零点 D.存在a>0,f(x)有唯一极小值 3.当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围为 (　　) A.[-6,-2] B.[-6,-] C.[-5,-2]